pythagtriplem14 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem14 12471

Description: Lemma for pythagtrip 12477. Calculate the square of

. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pythagtriplem13.1

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem14	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pythagtriplem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem13.1	. . 3
2	1	oveq1i 5935	. 2
3		simp13 1031	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp12 1030	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	nnaddcld 9055	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	nnrpd 9786	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	rpsqrtcld 11340	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	rpcnd 9790	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	3	nnred 9020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	4	nnred 9020	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	resubcld 8424	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		pythagtriplem10 12463	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
13	12	3adant3 1019	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	11, 13	elrpd 9785	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	rpsqrtcld 11340	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	rpcnd 9790	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	8, 16	subcld 8354	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		2cn 9078	. . . . 5
19	18	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		2ap0 9100	. . . . 5 #
21	20	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
22	17, 19, 21	sqdivapd 10795	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	18	sqvali 10728	. . . . 5
24	23	oveq2i 5936	. . . 4
25	17	sqcld 10780	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 19, 19, 21, 21	divdivap1d 8866	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		binom2sub 10762	. . . . . . . . . 10 $/\$
28	8, 16, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		nnre 9014	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		nnre 9014	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		readdcl 8022	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
32	29, 30, 31	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
33	32	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
34	33	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	recnd 8072	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		resubcl 8307	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
37	29, 30, 36	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
38	37	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
39	38	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	recnd 8072	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	8, 16	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		mulcl 8023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
43	18, 41, 42	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	35, 40, 43	addsubd 8375	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	3	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp11 1029	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		subdi 8428	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
49	18, 45, 47, 48	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		nncn 9015	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		nncn 9015	. . . . . . . . . . . . . . 15
52		ppncan 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
53	52	3anidm13 1307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
54		2times 9135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56	53, 55	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
57	50, 51, 56	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58	57	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
59	58	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	4	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		subsq 10755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
62	45, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64	63	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		nncn 9015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	sqcld 10780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67	66	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
68	51	sqcld 10780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	68	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	67, 69	pncand 8355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
71	70	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	64, 71	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	62, 72	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	29	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
76	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
77		nngt0 9032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
79		nngt0 9032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80	79	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
81	75, 76, 78, 80	addgt0d 8565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
82		0re 8043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
83		ltle 8131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
84	82, 83	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	32, 81, 84	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
86	85	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
87	86	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		ltle 8131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	82, 88	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
90	39, 13, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	34, 87, 39, 90	sqrtmuld 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		nnre 9014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93	92	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
94	93	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		nnnn0 9273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	95	nn0ge0d 9322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	96	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
98	97	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 98	sqrtsqd 11347	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	74, 91, 99	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	59, 101	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	49, 102	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		resqrtth 11213	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
105	34, 87, 104	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		resqrtth 11213	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	39, 90, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	106, 108	oveq12d 5943	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	44, 103, 109	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	28, 110	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq1d 5940	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		subcl 8242	. . . . . . . . . . 11 $/\$
114	50, 65, 113	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
115	114	3adant2 1018	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	115	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116, 19, 21	divcanap3d 8839	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	112, 117	eqtrd 2229	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	oveq1d 5940	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	26, 119	eqtr3d 2231	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	24, 120	eqtrid 2241	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	22, 121	eqtrd 2229	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	2, 122	eqtrid 2241	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167 class class class wbr 4034

cfv 5259 (class class class)co 5925

cc 7894

cr 7895

cc0 7896

c1 7897

caddc 7899

cmul 7901

clt 8078

cle 8079

cmin 8214 # cap 8625

cdiv 8716

cn 9007

c2 9058

cexp 10647

csqrt 11178

cdvds 11969

cgcd 12145

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-rp 9746 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-rsqrt 11180

This theorem is referenced by: pythagtriplem15 12472 pythagtriplem17 12474

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