pythagtriplem14 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem14 12843

Description: Lemma for pythagtrip 12849. Calculate the square of

. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pythagtriplem13.1

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem14	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pythagtriplem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem13.1	. . 3
2	1	oveq1i 6023	. 2
3		simp13 1053	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp12 1052	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	nnaddcld 9184	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	nnrpd 9922	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	rpsqrtcld 11712	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	rpcnd 9926	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	3	nnred 9149	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	4	nnred 9149	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	resubcld 8553	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		pythagtriplem10 12835	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
13	12	3adant3 1041	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	11, 13	elrpd 9921	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	rpsqrtcld 11712	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	rpcnd 9926	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	8, 16	subcld 8483	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		2cn 9207	. . . . 5
19	18	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		2ap0 9229	. . . . 5 #
21	20	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
22	17, 19, 21	sqdivapd 10941	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	18	sqvali 10874	. . . . 5
24	23	oveq2i 6024	. . . 4
25	17	sqcld 10926	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 19, 19, 21, 21	divdivap1d 8995	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		binom2sub 10908	. . . . . . . . . 10 $/\$
28	8, 16, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		nnre 9143	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		nnre 9143	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		readdcl 8151	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
32	29, 30, 31	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
33	32	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
34	33	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	recnd 8201	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		resubcl 8436	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
37	29, 30, 36	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
38	37	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
39	38	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	recnd 8201	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	8, 16	mulcld 8193	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		mulcl 8152	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
43	18, 41, 42	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	35, 40, 43	addsubd 8504	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	3	nncnd 9150	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp11 1051	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	nncnd 9150	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		subdi 8557	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
49	18, 45, 47, 48	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		nncn 9144	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		nncn 9144	. . . . . . . . . . . . . . 15
52		ppncan 8414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
53	52	3anidm13 1330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
54		2times 9264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56	53, 55	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
57	50, 51, 56	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58	57	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
59	58	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	4	nncnd 9150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		subsq 10901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
62	45, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64	63	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		nncn 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	sqcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67	66	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
68	51	sqcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	68	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	67, 69	pncand 8484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
71	70	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	64, 71	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	62, 72	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	29	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
76	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
77		nngt0 9161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
79		nngt0 9161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80	79	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
81	75, 76, 78, 80	addgt0d 8694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
82		0re 8172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
83		ltle 8260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
84	82, 83	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	32, 81, 84	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
86	85	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
87	86	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		ltle 8260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	82, 88	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
90	39, 13, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	34, 87, 39, 90	sqrtmuld 11723	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		nnre 9143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93	92	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
94	93	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		nnnn0 9402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	95	nn0ge0d 9451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	96	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
98	97	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 98	sqrtsqd 11719	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	74, 91, 99	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	59, 101	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	49, 102	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		resqrtth 11585	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
105	34, 87, 104	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		resqrtth 11585	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	39, 90, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	106, 108	oveq12d 6031	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	44, 103, 109	3eqtr4rd 2273	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	28, 110	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq1d 6028	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		subcl 8371	. . . . . . . . . . 11 $/\$
114	50, 65, 113	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
115	114	3adant2 1040	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	115	3ad2ant1 1042	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116, 19, 21	divcanap3d 8968	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	112, 117	eqtrd 2262	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	oveq1d 6028	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	26, 119	eqtr3d 2264	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	24, 120	eqtrid 2274	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	22, 121	eqtrd 2262	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	2, 122	eqtrid 2274	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200 class class class wbr 4086

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8023

cr 8024

cc0 8025

c1 8026

caddc 8028

cmul 8030

clt 8207

cle 8208

cmin 8343 # cap 8754

cdiv 8845

cn 9136

c2 9187

cexp 10793

csqrt 11550

cdvds 12341

cgcd 12517

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8116 ax-resscn 8117 ax-1cn 8118 ax-1re 8119 ax-icn 8120 ax-addcl 8121 ax-addrcl 8122 ax-mulcl 8123 ax-mulrcl 8124 ax-addcom 8125 ax-mulcom 8126 ax-addass 8127 ax-mulass 8128 ax-distr 8129 ax-i2m1 8130 ax-0lt1 8131 ax-1rid 8132 ax-0id 8133 ax-rnegex 8134 ax-precex 8135 ax-cnre 8136 ax-pre-ltirr 8137 ax-pre-ltwlin 8138 ax-pre-lttrn 8139 ax-pre-apti 8140 ax-pre-ltadd 8141 ax-pre-mulgt0 8142 ax-pre-mulext 8143 ax-arch 8144 ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-pnf 8209 df-mnf 8210 df-xr 8211 df-ltxr 8212 df-le 8213 df-sub 8345 df-neg 8346 df-reap 8748 df-ap 8755 df-div 8846 df-inn 9137 df-2 9195 df-3 9196 df-4 9197 df-n0 9396 df-z 9473 df-uz 9749 df-rp 9882 df-seqfrec 10703 df-exp 10794 df-rsqrt 11552

This theorem is referenced by: pythagtriplem15 12844 pythagtriplem17 12846

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