pythagtriplem14 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem14 13039

Description: Lemma for pythagtrip 13045. Calculate the square of

. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pythagtriplem13.1

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem14	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pythagtriplem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem13.1	. . 3
2	1	oveq1i 6089	. 2
3		simp13 1060	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp12 1059	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	nnaddcld 9335	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	nnrpd 10078	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	rpsqrtcld 11907	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	rpcnd 10082	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	3	nnred 9300	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	4	nnred 9300	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	resubcld 8702	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		pythagtriplem10 13031	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
13	12	3adant3 1048	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	11, 13	elrpd 10077	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	rpsqrtcld 11907	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	rpcnd 10082	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	8, 16	subcld 8631	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		2cn 9358	. . . . 5
19	18	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		2ap0 9380	. . . . 5 #
21	20	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
22	17, 19, 21	sqdivapd 11107	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	18	sqvali 11039	. . . . 5
24	23	oveq2i 6090	. . . 4
25	17	sqcld 11092	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 19, 19, 21, 21	divdivap1d 9146	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		binom2sub 11073	. . . . . . . . . 10 $/\$
28	8, 16, 27	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		nnre 9294	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		nnre 9294	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		readdcl 8299	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
32	29, 30, 31	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
33	32	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
34	33	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	recnd 8348	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		resubcl 8584	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
37	29, 30, 36	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
38	37	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
39	38	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	recnd 8348	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	8, 16	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		mulcl 8300	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
43	18, 41, 42	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	35, 40, 43	addsubd 8652	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	3	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp11 1058	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		subdi 8706	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
49	18, 45, 47, 48	mp3an2i 1383	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		nncn 9295	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		nncn 9295	. . . . . . . . . . . . . . 15
52		ppncan 8562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
53	52	3anidm13 1337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
54		2times 9415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56	53, 55	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
57	50, 51, 56	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58	57	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
59	58	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	4	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		subsq 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
62	45, 60, 61	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		oveq1 6086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64	63	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		nncn 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	sqcld 11092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67	66	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
68	51	sqcld 11092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	68	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	67, 69	pncand 8632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
71	70	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	64, 71	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	62, 72	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	29	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
76	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
77		nngt0 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
79		nngt0 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80	79	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
81	75, 76, 78, 80	addgt0d 8843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
82		0re 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
83		ltle 8407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
84	82, 83	mpan 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	32, 81, 84	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
86	85	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
87	86	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		ltle 8407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	82, 88	mpan 428	. . . . . . . . . . . . . . . 16
90	39, 13, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	34, 87, 39, 90	sqrtmuld 11918	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		nnre 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93	92	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
94	93	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		nnnn0 9553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	95	nn0ge0d 9606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	96	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
98	97	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 98	sqrtsqd 11914	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	74, 91, 99	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	59, 101	oveq12d 6097	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	49, 102	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		resqrtth 11780	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
105	34, 87, 104	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		resqrtth 11780	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	39, 90, 107	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	106, 108	oveq12d 6097	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	44, 103, 109	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	28, 110	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq1d 6094	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		subcl 8519	. . . . . . . . . . 11 $/\$
114	50, 65, 113	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
115	114	3adant2 1047	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	115	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116, 19, 21	divcanap3d 9119	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	112, 117	eqtrd 2271	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	oveq1d 6094	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	26, 119	eqtr3d 2273	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	24, 120	eqtrid 2283	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	22, 121	eqtrd 2271	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	2, 122	eqtrid 2283	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4128

cfv 5375 (class class class)co 6079

cc 8171

cr 8172

cc0 8173

c1 8174

caddc 8176

cmul 8178

clt 8354

cle 8355

cmin 8491 # cap 8903

cdiv 8996

cn 9287

c2 9338

cexp 10958

csqrt 11745

cdvds 12537

cgcd 12713

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291 ax-arch 8292 ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-frec 6656 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-3 9347 df-4 9348 df-n0 9547 df-z 9628 df-uz 9905 df-rp 10038 df-seqfrec 10868 df-exp 10959 df-rsqrt 11747

This theorem is referenced by: pythagtriplem15 13040 pythagtriplem17 13042

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