pythagtriplem14 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem14 12205

Description: Lemma for pythagtrip 12211. Calculate the square of

. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pythagtriplem13.1

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem14	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pythagtriplem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem13.1	. . 3
2	1	oveq1i 5851	. 2
3		simp13 1019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp12 1018	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	nnaddcld 8901	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	nnrpd 9626	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	rpsqrtcld 11096	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	rpcnd 9630	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	3	nnred 8866	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	4	nnred 8866	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	resubcld 8275	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		pythagtriplem10 12197	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
13	12	3adant3 1007	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	11, 13	elrpd 9625	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	rpsqrtcld 11096	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	rpcnd 9630	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	8, 16	subcld 8205	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		2cn 8924	. . . . 5
19	18	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		2ap0 8946	. . . . 5 #
21	20	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
22	17, 19, 21	sqdivapd 10597	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	18	sqvali 10530	. . . . 5
24	23	oveq2i 5852	. . . 4
25	17	sqcld 10582	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 19, 19, 21, 21	divdivap1d 8714	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		binom2sub 10564	. . . . . . . . . 10 $/\$
28	8, 16, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		nnre 8860	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		nnre 8860	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		readdcl 7875	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
32	29, 30, 31	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
33	32	3adant1 1005	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
34	33	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	recnd 7923	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		resubcl 8158	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
37	29, 30, 36	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
38	37	3adant1 1005	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
39	38	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	recnd 7923	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	8, 16	mulcld 7915	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		mulcl 7876	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
43	18, 41, 42	sylancr 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	35, 40, 43	addsubd 8226	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	3	nncnd 8867	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp11 1017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	nncnd 8867	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		subdi 8279	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
49	18, 45, 47, 48	mp3an2i 1332	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		nncn 8861	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		nncn 8861	. . . . . . . . . . . . . . 15
52		ppncan 8136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
53	52	3anidm13 1286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
54		2times 8981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	54	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56	53, 55	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
57	50, 51, 56	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58	57	3adant1 1005	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
59	58	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	4	nncnd 8867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		subsq 10557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
62	45, 60, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		oveq1 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64	63	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		nncn 8861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	sqcld 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67	66	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
68	51	sqcld 10582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	68	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	67, 69	pncand 8206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
71	70	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	64, 71	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	62, 72	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	fveq2d 5489	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	29	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
76	30	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
77		nngt0 8878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	77	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
79		nngt0 8878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80	79	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
81	75, 76, 78, 80	addgt0d 8415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
82		0re 7895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
83		ltle 7982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
84	82, 83	mpan 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	32, 81, 84	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
86	85	3adant1 1005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
87	86	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		ltle 7982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	82, 88	mpan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16
90	39, 13, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	34, 87, 39, 90	sqrtmuld 11107	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		nnre 8860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93	92	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
94	93	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		nnnn0 9117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	95	nn0ge0d 9166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	96	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
98	97	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 98	sqrtsqd 11103	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	74, 91, 99	3eqtr3d 2206	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 5857	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	59, 101	oveq12d 5859	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	49, 102	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		resqrtth 10969	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
105	34, 87, 104	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	oveq1d 5856	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		resqrtth 10969	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	39, 90, 107	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	106, 108	oveq12d 5859	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	44, 103, 109	3eqtr4rd 2209	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	28, 110	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq1d 5856	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		subcl 8093	. . . . . . . . . . 11 $/\$
114	50, 65, 113	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 $/\$
115	114	3adant2 1006	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	115	3ad2ant1 1008	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116, 19, 21	divcanap3d 8687	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	112, 117	eqtrd 2198	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	oveq1d 5856	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	26, 119	eqtr3d 2200	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	24, 120	syl5eq 2210	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	22, 121	eqtrd 2198	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	2, 122	syl5eq 2210	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136 class class class wbr 3981

cfv 5187 (class class class)co 5841

cc 7747

cr 7748

cc0 7749

c1 7750

caddc 7752

cmul 7754

clt 7929

cle 7930

cmin 8065 # cap 8475

cdiv 8564

cn 8853

c2 8904

cexp 10450

csqrt 10934

cdvds 11723

cgcd 11871

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4096 ax-sep 4099 ax-nul 4107 ax-pow 4152 ax-pr 4186 ax-un 4410 ax-setind 4513 ax-iinf 4564 ax-cnex 7840 ax-resscn 7841 ax-1cn 7842 ax-1re 7843 ax-icn 7844 ax-addcl 7845 ax-addrcl 7846 ax-mulcl 7847 ax-mulrcl 7848 ax-addcom 7849 ax-mulcom 7850 ax-addass 7851 ax-mulass 7852 ax-distr 7853 ax-i2m1 7854 ax-0lt1 7855 ax-1rid 7856 ax-0id 7857 ax-rnegex 7858 ax-precex 7859 ax-cnre 7860 ax-pre-ltirr 7861 ax-pre-ltwlin 7862 ax-pre-lttrn 7863 ax-pre-apti 7864 ax-pre-ltadd 7865 ax-pre-mulgt0 7866 ax-pre-mulext 7867 ax-arch 7868 ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2296 df-ne 2336 df-nel 2431 df-ral 2448 df-rex 2449 df-reu 2450 df-rmo 2451 df-rab 2452 df-v 2727 df-sbc 2951 df-csb 3045 df-dif 3117 df-un 3119 df-in 3121 df-ss 3128 df-nul 3409 df-if 3520 df-pw 3560 df-sn 3581 df-pr 3582 df-op 3584 df-uni 3789 df-int 3824 df-iun 3867 df-br 3982 df-opab 4043 df-mpt 4044 df-tr 4080 df-id 4270 df-po 4273 df-iso 4274 df-iord 4343 df-on 4345 df-ilim 4346 df-suc 4348 df-iom 4567 df-xp 4609 df-rel 4610 df-cnv 4611 df-co 4612 df-dm 4613 df-rn 4614 df-res 4615 df-ima 4616 df-iota 5152 df-fun 5189 df-fn 5190 df-f 5191 df-f1 5192 df-fo 5193 df-f1o 5194 df-fv 5195 df-riota 5797 df-ov 5844 df-oprab 5845 df-mpo 5846 df-1st 6105 df-2nd 6106 df-recs 6269 df-frec 6355 df-pnf 7931 df-mnf 7932 df-xr 7933 df-ltxr 7934 df-le 7935 df-sub 8067 df-neg 8068 df-reap 8469 df-ap 8476 df-div 8565 df-inn 8854 df-2 8912 df-3 8913 df-4 8914 df-n0 9111 df-z 9188 df-uz 9463 df-rp 9586 df-seqfrec 10377 df-exp 10451 df-rsqrt 10936

This theorem is referenced by: pythagtriplem15 12206 pythagtriplem17 12208

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