pythagtriplem14 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem14 12473

Description: Lemma for pythagtrip 12479. Calculate the square of

. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pythagtriplem13.1

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem14	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pythagtriplem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem13.1	. . 3
2	1	oveq1i 5935	. 2
3		simp13 1031	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp12 1030	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	nnaddcld 9057	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	nnrpd 9788	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	rpsqrtcld 11342	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	rpcnd 9792	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	3	nnred 9022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	4	nnred 9022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	resubcld 8426	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		pythagtriplem10 12465	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
13	12	3adant3 1019	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	11, 13	elrpd 9787	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	rpsqrtcld 11342	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	rpcnd 9792	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	8, 16	subcld 8356	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		2cn 9080	. . . . 5
19	18	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		2ap0 9102	. . . . 5 #
21	20	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
22	17, 19, 21	sqdivapd 10797	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	18	sqvali 10730	. . . . 5
24	23	oveq2i 5936	. . . 4
25	17	sqcld 10782	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 19, 19, 21, 21	divdivap1d 8868	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		binom2sub 10764	. . . . . . . . . 10 $/\$
28	8, 16, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		nnre 9016	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		nnre 9016	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		readdcl 8024	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
32	29, 30, 31	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
33	32	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
34	33	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	recnd 8074	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		resubcl 8309	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
37	29, 30, 36	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
38	37	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
39	38	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	recnd 8074	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	8, 16	mulcld 8066	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		mulcl 8025	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
43	18, 41, 42	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	35, 40, 43	addsubd 8377	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	3	nncnd 9023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp11 1029	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	nncnd 9023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		subdi 8430	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
49	18, 45, 47, 48	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		nncn 9017	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		nncn 9017	. . . . . . . . . . . . . . 15
52		ppncan 8287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
53	52	3anidm13 1307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
54		2times 9137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56	53, 55	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
57	50, 51, 56	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58	57	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
59	58	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	4	nncnd 9023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		subsq 10757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
62	45, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64	63	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		nncn 9017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	sqcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67	66	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
68	51	sqcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	68	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	67, 69	pncand 8357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
71	70	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	64, 71	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	62, 72	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	29	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
76	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
77		nngt0 9034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
79		nngt0 9034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80	79	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
81	75, 76, 78, 80	addgt0d 8567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
82		0re 8045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
83		ltle 8133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
84	82, 83	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	32, 81, 84	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
86	85	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
87	86	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		ltle 8133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	82, 88	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
90	39, 13, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	34, 87, 39, 90	sqrtmuld 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		nnre 9016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93	92	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
94	93	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		nnnn0 9275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	95	nn0ge0d 9324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	96	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
98	97	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 98	sqrtsqd 11349	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	74, 91, 99	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	59, 101	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	49, 102	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		resqrtth 11215	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
105	34, 87, 104	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		resqrtth 11215	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	39, 90, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	106, 108	oveq12d 5943	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	44, 103, 109	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	28, 110	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq1d 5940	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		subcl 8244	. . . . . . . . . . 11 $/\$
114	50, 65, 113	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
115	114	3adant2 1018	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	115	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116, 19, 21	divcanap3d 8841	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	112, 117	eqtrd 2229	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	oveq1d 5940	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	26, 119	eqtr3d 2231	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	24, 120	eqtrid 2241	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	22, 121	eqtrd 2229	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	2, 122	eqtrid 2241	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167 class class class wbr 4034

cfv 5259 (class class class)co 5925

cc 7896

cr 7897

cc0 7898

c1 7899

caddc 7901

cmul 7903

clt 8080

cle 8081

cmin 8216 # cap 8627

cdiv 8718

cn 9009

c2 9060

cexp 10649

csqrt 11180

cdvds 11971

cgcd 12147

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7989 ax-resscn 7990 ax-1cn 7991 ax-1re 7992 ax-icn 7993 ax-addcl 7994 ax-addrcl 7995 ax-mulcl 7996 ax-mulrcl 7997 ax-addcom 7998 ax-mulcom 7999 ax-addass 8000 ax-mulass 8001 ax-distr 8002 ax-i2m1 8003 ax-0lt1 8004 ax-1rid 8005 ax-0id 8006 ax-rnegex 8007 ax-precex 8008 ax-cnre 8009 ax-pre-ltirr 8010 ax-pre-ltwlin 8011 ax-pre-lttrn 8012 ax-pre-apti 8013 ax-pre-ltadd 8014 ax-pre-mulgt0 8015 ax-pre-mulext 8016 ax-arch 8017 ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-pnf 8082 df-mnf 8083 df-xr 8084 df-ltxr 8085 df-le 8086 df-sub 8218 df-neg 8219 df-reap 8621 df-ap 8628 df-div 8719 df-inn 9010 df-2 9068 df-3 9069 df-4 9070 df-n0 9269 df-z 9346 df-uz 9621 df-rp 9748 df-seqfrec 10559 df-exp 10650 df-rsqrt 11182

This theorem is referenced by: pythagtriplem15 12474 pythagtriplem17 12476

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