pythagtriplem14 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem14 12911

Description: Lemma for pythagtrip 12917. Calculate the square of

. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pythagtriplem13.1

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem14	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pythagtriplem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem13.1	. . 3
2	1	oveq1i 6038	. 2
3		simp13 1056	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp12 1055	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	nnaddcld 9234	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	nnrpd 9972	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	rpsqrtcld 11779	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	rpcnd 9976	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	3	nnred 9199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	4	nnred 9199	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	resubcld 8603	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		pythagtriplem10 12903	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
13	12	3adant3 1044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	11, 13	elrpd 9971	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	rpsqrtcld 11779	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	rpcnd 9976	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	8, 16	subcld 8533	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		2cn 9257	. . . . 5
19	18	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		2ap0 9279	. . . . 5 #
21	20	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
22	17, 19, 21	sqdivapd 10992	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	18	sqvali 10925	. . . . 5
24	23	oveq2i 6039	. . . 4
25	17	sqcld 10977	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 19, 19, 21, 21	divdivap1d 9045	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		binom2sub 10959	. . . . . . . . . 10 $/\$
28	8, 16, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		nnre 9193	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		nnre 9193	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		readdcl 8201	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
32	29, 30, 31	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
33	32	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
34	33	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	recnd 8251	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		resubcl 8486	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
37	29, 30, 36	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
38	37	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
39	38	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	recnd 8251	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	8, 16	mulcld 8243	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
43	18, 41, 42	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	35, 40, 43	addsubd 8554	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	3	nncnd 9200	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp11 1054	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	nncnd 9200	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		subdi 8607	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
49	18, 45, 47, 48	mp3an2i 1379	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		nncn 9194	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		nncn 9194	. . . . . . . . . . . . . . 15
52		ppncan 8464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
53	52	3anidm13 1333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
54		2times 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56	53, 55	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
57	50, 51, 56	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58	57	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
59	58	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	4	nncnd 9200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		subsq 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
62	45, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64	63	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		nncn 9194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	sqcld 10977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67	66	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
68	51	sqcld 10977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	68	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	67, 69	pncand 8534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
71	70	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	64, 71	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	62, 72	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	29	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
76	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
77		nngt0 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
79		nngt0 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80	79	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
81	75, 76, 78, 80	addgt0d 8744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
82		0re 8222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
83		ltle 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
84	82, 83	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	32, 81, 84	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
86	85	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
87	86	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		ltle 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	82, 88	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
90	39, 13, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	34, 87, 39, 90	sqrtmuld 11790	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		nnre 9193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93	92	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
94	93	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		nnnn0 9452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	95	nn0ge0d 9501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	96	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
98	97	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 98	sqrtsqd 11786	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	74, 91, 99	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	59, 101	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	49, 102	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		resqrtth 11652	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
105	34, 87, 104	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		resqrtth 11652	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	39, 90, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	106, 108	oveq12d 6046	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	44, 103, 109	3eqtr4rd 2275	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	28, 110	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq1d 6043	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		subcl 8421	. . . . . . . . . . 11 $/\$
114	50, 65, 113	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
115	114	3adant2 1043	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	115	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116, 19, 21	divcanap3d 9018	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	112, 117	eqtrd 2264	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	oveq1d 6043	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	26, 119	eqtr3d 2266	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	24, 120	eqtrid 2276	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	22, 121	eqtrd 2264	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	2, 122	eqtrid 2276	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202 class class class wbr 4093

cfv 5333 (class class class)co 6028

cc 8073

cr 8074

cc0 8075

c1 8076

caddc 8078

cmul 8080

clt 8257

cle 8258

cmin 8393 # cap 8804

cdiv 8895

cn 9186

c2 9237

cexp 10844

csqrt 11617

cdvds 12409

cgcd 12585

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193 ax-arch 8194 ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-pnf 8259 df-mnf 8260 df-xr 8261 df-ltxr 8262 df-le 8263 df-sub 8395 df-neg 8396 df-reap 8798 df-ap 8805 df-div 8896 df-inn 9187 df-2 9245 df-3 9246 df-4 9247 df-n0 9446 df-z 9523 df-uz 9799 df-rp 9932 df-seqfrec 10754 df-exp 10845 df-rsqrt 11619

This theorem is referenced by: pythagtriplem15 12912 pythagtriplem17 12914

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