pythagtriplem14 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem14 12168

Description: Lemma for pythagtrip 12174. Calculate the square of

. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pythagtriplem13.1

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem14	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pythagtriplem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem13.1	. . 3
2	1	oveq1i 5837	. 2
3		simp13 1014	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp12 1013	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	nnaddcld 8887	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	nnrpd 9608	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	rpsqrtcld 11070	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	rpcnd 9612	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	3	nnred 8852	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	4	nnred 8852	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	resubcld 8261	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		pythagtriplem10 12160	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
13	12	3adant3 1002	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	11, 13	elrpd 9607	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	rpsqrtcld 11070	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	rpcnd 9612	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	8, 16	subcld 8191	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		2cn 8910	. . . . 5
19	18	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		2ap0 8932	. . . . 5 #
21	20	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
22	17, 19, 21	sqdivapd 10574	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	18	sqvali 10508	. . . . 5
24	23	oveq2i 5838	. . . 4
25	17	sqcld 10559	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 19, 19, 21, 21	divdivap1d 8700	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		binom2sub 10541	. . . . . . . . . 10 $/\$
28	8, 16, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		nnre 8846	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		nnre 8846	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		readdcl 7861	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
32	29, 30, 31	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
33	32	3adant1 1000	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
34	33	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	recnd 7909	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		resubcl 8144	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
37	29, 30, 36	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
38	37	3adant1 1000	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
39	38	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	recnd 7909	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	8, 16	mulcld 7901	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		mulcl 7862	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
43	18, 41, 42	sylancr 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	35, 40, 43	addsubd 8212	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	3	nncnd 8853	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp11 1012	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	nncnd 8853	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		subdi 8265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
49	18, 45, 47, 48	mp3an2i 1324	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		nncn 8847	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		nncn 8847	. . . . . . . . . . . . . . 15
52		ppncan 8122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
53	52	3anidm13 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
54		2times 8967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	54	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56	53, 55	eqtr4d 2193	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
57	50, 51, 56	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58	57	3adant1 1000	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
59	58	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	4	nncnd 8853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		subsq 10535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
62	45, 60, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		oveq1 5834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64	63	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		nncn 8847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	sqcld 10559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67	66	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
68	51	sqcld 10559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	68	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	67, 69	pncand 8192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
71	70	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	64, 71	eqtr3d 2192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	62, 72	eqtr3d 2192	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	fveq2d 5475	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	29	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
76	30	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
77		nngt0 8864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	77	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
79		nngt0 8864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80	79	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
81	75, 76, 78, 80	addgt0d 8401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
82		0re 7881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
83		ltle 7968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
84	82, 83	mpan 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	32, 81, 84	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
86	85	3adant1 1000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
87	86	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		ltle 7968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	82, 88	mpan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16
90	39, 13, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	34, 87, 39, 90	sqrtmuld 11081	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		nnre 8846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93	92	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
94	93	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		nnnn0 9103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	95	nn0ge0d 9152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	96	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
98	97	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 98	sqrtsqd 11077	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	74, 91, 99	3eqtr3d 2198	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 5843	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	59, 101	oveq12d 5845	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	49, 102	eqtr4d 2193	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		resqrtth 10943	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
105	34, 87, 104	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	oveq1d 5842	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		resqrtth 10943	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	39, 90, 107	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	106, 108	oveq12d 5845	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	44, 103, 109	3eqtr4rd 2201	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	28, 110	eqtrd 2190	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq1d 5842	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		subcl 8079	. . . . . . . . . . 11 $/\$
114	50, 65, 113	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 $/\$
115	114	3adant2 1001	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	115	3ad2ant1 1003	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116, 19, 21	divcanap3d 8673	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	112, 117	eqtrd 2190	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	oveq1d 5842	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	26, 119	eqtr3d 2192	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	24, 120	syl5eq 2202	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	22, 121	eqtrd 2190	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	2, 122	syl5eq 2202	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103 $/\$ w3a 963

wceq 1335

wcel 2128 class class class wbr 3967

cfv 5173 (class class class)co 5827

cc 7733

cr 7734

cc0 7735

c1 7736

caddc 7738

cmul 7740

clt 7915

cle 7916

cmin 8051 # cap 8461

cdiv 8550

cn 8839

c2 8890

cexp 10428

csqrt 10908

cdvds 11695

cgcd 11842

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4082 ax-sep 4085 ax-nul 4093 ax-pow 4138 ax-pr 4172 ax-un 4396 ax-setind 4499 ax-iinf 4550 ax-cnex 7826 ax-resscn 7827 ax-1cn 7828 ax-1re 7829 ax-icn 7830 ax-addcl 7831 ax-addrcl 7832 ax-mulcl 7833 ax-mulrcl 7834 ax-addcom 7835 ax-mulcom 7836 ax-addass 7837 ax-mulass 7838 ax-distr 7839 ax-i2m1 7840 ax-0lt1 7841 ax-1rid 7842 ax-0id 7843 ax-rnegex 7844 ax-precex 7845 ax-cnre 7846 ax-pre-ltirr 7847 ax-pre-ltwlin 7848 ax-pre-lttrn 7849 ax-pre-apti 7850 ax-pre-ltadd 7851 ax-pre-mulgt0 7852 ax-pre-mulext 7853 ax-arch 7854 ax-caucvg 7855

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3396 df-if 3507 df-pw 3546 df-sn 3567 df-pr 3568 df-op 3570 df-uni 3775 df-int 3810 df-iun 3853 df-br 3968 df-opab 4029 df-mpt 4030 df-tr 4066 df-id 4256 df-po 4259 df-iso 4260 df-iord 4329 df-on 4331 df-ilim 4332 df-suc 4334 df-iom 4553 df-xp 4595 df-rel 4596 df-cnv 4597 df-co 4598 df-dm 4599 df-rn 4600 df-res 4601 df-ima 4602 df-iota 5138 df-fun 5175 df-fn 5176 df-f 5177 df-f1 5178 df-fo 5179 df-f1o 5180 df-fv 5181 df-riota 5783 df-ov 5830 df-oprab 5831 df-mpo 5832 df-1st 6091 df-2nd 6092 df-recs 6255 df-frec 6341 df-pnf 7917 df-mnf 7918 df-xr 7919 df-ltxr 7920 df-le 7921 df-sub 8053 df-neg 8054 df-reap 8455 df-ap 8462 df-div 8551 df-inn 8840 df-2 8898 df-3 8899 df-4 8900 df-n0 9097 df-z 9174 df-uz 9446 df-rp 9568 df-seqfrec 10355 df-exp 10429 df-rsqrt 10910

This theorem is referenced by: pythagtriplem15 12169 pythagtriplem17 12171

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