pythagtriplem14 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pythagtriplem14 13005

Description: Lemma for pythagtrip 13011. Calculate the square of

. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pythagtriplem13.1

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem14	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pythagtriplem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem13.1	. . 3
2	1	oveq1i 6069	. 2
3		simp13 1056	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		simp12 1055	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	3, 4	nnaddcld 9306	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	nnrpd 10049	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	rpsqrtcld 11873	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	7	rpcnd 10053	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	3	nnred 9271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	4	nnred 9271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	resubcld 8673	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		pythagtriplem10 12997	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
13	12	3adant3 1044	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	11, 13	elrpd 10048	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	rpsqrtcld 11873	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	15	rpcnd 10053	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	8, 16	subcld 8602	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		2cn 9329	. . . . 5
19	18	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		2ap0 9351	. . . . 5 #
21	20	a1i 9	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
22	17, 19, 21	sqdivapd 11077	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	18	sqvali 11009	. . . . 5
24	23	oveq2i 6070	. . . 4
25	17	sqcld 11062	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25, 19, 19, 21, 21	divdivap1d 9117	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		binom2sub 11043	. . . . . . . . . 10 $/\$
28	8, 16, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		nnre 9265	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		nnre 9265	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		readdcl 8270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
32	29, 30, 31	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
33	32	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
34	33	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	recnd 8319	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		resubcl 8555	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
37	29, 30, 36	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
38	37	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
39	38	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	recnd 8319	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	8, 16	mulcld 8311	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		mulcl 8271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
43	18, 41, 42	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	35, 40, 43	addsubd 8623	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	3	nncnd 9272	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp11 1054	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	nncnd 9272	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		subdi 8677	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
49	18, 45, 47, 48	mp3an2i 1379	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		nncn 9266	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		nncn 9266	. . . . . . . . . . . . . . 15
52		ppncan 8533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
53	52	3anidm13 1333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
54		2times 9386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56	53, 55	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
57	50, 51, 56	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
58	57	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
59	58	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	4	nncnd 9272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		subsq 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
62	45, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		oveq1 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64	63	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		nncn 9266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	sqcld 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67	66	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
68	51	sqcld 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	68	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	67, 69	pncand 8603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
71	70	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	64, 71	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	62, 72	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	fveq2d 5680	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	29	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
76	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
77		nngt0 9283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
79		nngt0 9283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80	79	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
81	75, 76, 78, 80	addgt0d 8814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
82		0re 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
83		ltle 8378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
84	82, 83	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	32, 81, 84	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
86	85	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
87	86	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		ltle 8378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	82, 88	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
90	39, 13, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	34, 87, 39, 90	sqrtmuld 11884	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		nnre 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93	92	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
94	93	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		nnnn0 9524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	95	nn0ge0d 9577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	96	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
98	97	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 98	sqrtsqd 11880	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	74, 91, 99	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 6075	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	59, 101	oveq12d 6077	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	49, 102	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		resqrtth 11746	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
105	34, 87, 104	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	oveq1d 6074	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		resqrtth 11746	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	39, 90, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	106, 108	oveq12d 6077	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	44, 103, 109	3eqtr4rd 2278	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	28, 110	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq1d 6074	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		subcl 8490	. . . . . . . . . . 11 $/\$
114	50, 65, 113	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
115	114	3adant2 1043	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
116	115	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116, 19, 21	divcanap3d 9090	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	112, 117	eqtrd 2267	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	oveq1d 6074	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	26, 119	eqtr3d 2269	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	24, 120	eqtrid 2279	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	22, 121	eqtrd 2267	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	2, 122	eqtrid 2279	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2205 class class class wbr 4115

cfv 5358 (class class class)co 6059

cc 8142

cr 8143

cc0 8144

c1 8145

caddc 8147

cmul 8149

clt 8325

cle 8326

cmin 8462 # cap 8874

cdiv 8967

cn 9258

c2 9309

cexp 10928

csqrt 11711

cdvds 12503

cgcd 12679

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4231 ax-sep 4234 ax-nul 4242 ax-pow 4293 ax-pr 4328 ax-un 4560 ax-setind 4665 ax-iinf 4716 ax-cnex 8235 ax-resscn 8236 ax-1cn 8237 ax-1re 8238 ax-icn 8239 ax-addcl 8240 ax-addrcl 8241 ax-mulcl 8242 ax-mulrcl 8243 ax-addcom 8244 ax-mulcom 8245 ax-addass 8246 ax-mulass 8247 ax-distr 8248 ax-i2m1 8249 ax-0lt1 8250 ax-1rid 8251 ax-0id 8252 ax-rnegex 8253 ax-precex 8254 ax-cnre 8255 ax-pre-ltirr 8256 ax-pre-ltwlin 8257 ax-pre-lttrn 8258 ax-pre-apti 8259 ax-pre-ltadd 8260 ax-pre-mulgt0 8261 ax-pre-mulext 8262 ax-arch 8263 ax-caucvg 8264

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3626 df-pw 3677 df-sn 3701 df-pr 3702 df-op 3704 df-uni 3921 df-int 3956 df-iun 3999 df-br 4116 df-opab 4178 df-mpt 4179 df-tr 4215 df-id 4420 df-po 4423 df-iso 4424 df-iord 4493 df-on 4495 df-ilim 4496 df-suc 4498 df-iom 4719 df-xp 4761 df-rel 4762 df-cnv 4763 df-co 4764 df-dm 4765 df-rn 4766 df-res 4767 df-ima 4768 df-iota 5318 df-fun 5360 df-fn 5361 df-f 5362 df-f1 5363 df-fo 5364 df-f1o 5365 df-fv 5366 df-riota 6012 df-ov 6062 df-oprab 6063 df-mpo 6064 df-1st 6348 df-2nd 6349 df-recs 6550 df-frec 6636 df-pnf 8327 df-mnf 8328 df-xr 8329 df-ltxr 8330 df-le 8331 df-sub 8464 df-neg 8465 df-reap 8868 df-ap 8875 df-div 8968 df-inn 9259 df-2 9317 df-3 9318 df-4 9319 df-n0 9518 df-z 9599 df-uz 9876 df-rp 10009 df-seqfrec 10838 df-exp 10929 df-rsqrt 11713

This theorem is referenced by: pythagtriplem15 13006 pythagtriplem17 13008

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