Theorem cos2t 11932

Description: Double-angle formula for cosine. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2t	|- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )

Proof of Theorem cos2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 11889	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
2	1	sqcld 10780	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC )
3		ax-1cn 7989	. . . 4 |- 1 e. CC
4		subsub3 8275	. . . 4 |- ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
5	3, 4	mp3an2 1336	. . 3 |- ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
6	2, 2, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
7		cosadd 11919	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( cos ` ( A + A ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` A ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` A ) ) ) )
8	7	anidms 397	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( A + A ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` A ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` A ) ) ) )
9		2times 9135	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
10	9	fveq2d 5565	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( cos ` ( A + A ) ) )
11	1	sqvald 10779	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` A ) ^ 2 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` A ) ) )
12		sincl 11888	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
13	12	sqvald 10779	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` A ) ) )
14	11, 13	oveq12d 5943	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` A ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` A ) ) ) )
15	8, 10, 14	3eqtr4d 2239	. . 3 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) )
16	12	sqcld 10780	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. CC )
17	16, 2	addcomd 8194	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) )
18		sincossq 11930	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
19	17, 18	eqtr3d 2231	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
20		subadd 8246	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <-> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
21	3, 20	mp3an1 1335	. . . . . 6 |- ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <-> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
22	2, 16, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <-> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
23	19, 22	mpbird 167	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( sin ` A ) ^ 2 ) )
24	23	oveq2d 5941	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) )
25	15, 24	eqtr4d 2232	. 2 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) )
26	2	2timesd 9251	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) )
27	26	oveq1d 5940	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
28	6, 25, 27	3eqtr4d 2239	1 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   - cmin 8214   2c2 9058   ^cexp 10647   sincsin 11826   cosccos 11827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-sin 11832  df-cos 11833

This theorem is referenced by:  cos2tsin  11933  cos2bnd  11942  sin0pilem1  15101  cospi  15120  cos2pi  15124  tangtx  15158  coskpi  15168