ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos2t Unicode version
Theorem cos2t 12542
Description: Double-angle formula for cosine. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2t |- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
Proof of Theorem cos2t
StepHypRef Expression
1 coscl 12499 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
21sqcld 11130 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC )
3 ax-1cn 8278 . . . 4 |- 1 e. CC
4 subsub3 8565 . . . 4 |- ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
53, 4mp3an2 1366 . . 3 |- ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
62, 2, 5syl2anc 415 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
7 cosadd 12529 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( cos ` ( A + A ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` A ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` A ) ) ) )
87anidms 401 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( A + A ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` A ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` A ) ) ) )
9 2times 9441 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
109fveq2d 5702 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( cos ` ( A + A ) ) )
111sqvald 11129 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` A ) ^ 2 ) = ( ( cos ` A ) x. ( cos ` A ) ) )
12 sincl 12498 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
1312sqvald 11129 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) = ( ( sin ` A ) x. ( sin ` A ) ) )
1411, 13oveq12d 6106 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( ( cos ` A ) x. ( cos ` A ) ) - ( ( sin ` A ) x. ( sin ` A ) ) ) )
158, 10, 143eqtr4d 2281 . . 3 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) )
1612sqcld 11130 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. CC )
1716, 2addcomd 8484 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) )
18 sincossq 12540 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
1917, 18eqtr3d 2273 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
20 subadd 8536 . . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <-> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
213, 20mp3an1 1365 . . . . . 6 |- ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <-> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
222, 16, 21syl2anc 415 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( sin ` A ) ^ 2 ) <-> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
2319, 22mpbird 167 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( sin ` A ) ^ 2 ) )
2423oveq2d 6104 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) )
2515, 24eqtr4d 2274 . 2 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) - ( 1 - ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) )
2622timesd 9559 . . 3 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) )
2726oveq1d 6103 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( ( ( cos ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
286, 25, 273eqtr4d 2281 1 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   - cmin 8504   2c2 9364   ^cexp 10996   sincsin 12436   cosccos 12437
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-bc 11208  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-sin 12442  df-cos 12443
This theorem is used by:  cos2tsin  12543  cos2bnd  12552  sin0pilem1  16008  cospi  16027  cos2pi  16031  tangtx  16065  coskpi  16075
  Copyright terms: Public domain W3C validator