Theorem 2timesd 9530

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
2timesd	|- ( ph -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		2times 9414	. 2 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6078   CCcc 8170   + caddc 8175   x. cmul 8177   2c2 9337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-mulcl 8270  ax-mulcom 8273  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-1rid 8279  ax-cnre 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6081  df-2 9345

This theorem is referenced by:  xleaddadd  10271  fzctr  10521  flhalf  10718  q2submod  10803  modaddmodup  10805  m1expeven  11004  binom2  11069  nn0opthlem2d  11140  crre  11603  imval2  11640  resqrexlemdec  11758  amgm2  11865  maxabsle  11951  maxabslemab  11953  maxltsup  11965  max0addsup  11966  arisum2  12247  efival  12480  sinadd  12484  cosadd  12485  addsin  12490  subsin  12491  cosmul  12493  addcos  12494  subcos  12495  sin2t  12497  cos2t  12498  eirraplem  12525  pythagtriplem12  13035  pythagtriplem15  13038  pythagtriplem17  13040  difsqpwdvds  13098  4sqlem11  13161  4sqlem12  13162  bl2in  15430  cosordlem  15876  gausslemma2d  16105  lgsquadlem1  16113  apdifflemf  17003  apdifflemr  17004