Theorem 2timesd 9446

Description: Two times a number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
2timesd	|- ( ph -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Proof of Theorem 2timesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		2times 9330	. 2 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   CCcc 8090   + caddc 8095   x. cmul 8097   2c2 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-mulcl 8190  ax-mulcom 8193  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-1rid 8199  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-2 9261

This theorem is referenced by:  xleaddadd  10183  fzctr  10430  flhalf  10625  q2submod  10710  modaddmodup  10712  m1expeven  10911  binom2  10976  nn0opthlem2d  11046  crre  11497  imval2  11534  resqrexlemdec  11651  amgm2  11758  maxabsle  11844  maxabslemab  11846  maxltsup  11858  max0addsup  11859  arisum2  12140  efival  12373  sinadd  12377  cosadd  12378  addsin  12383  subsin  12384  cosmul  12386  addcos  12387  subcos  12388  sin2t  12390  cos2t  12391  eirraplem  12418  pythagtriplem12  12928  pythagtriplem15  12931  pythagtriplem17  12933  difsqpwdvds  12991  4sqlem11  13054  4sqlem12  13055  bl2in  15214  cosordlem  15660  gausslemma2d  15888  lgsquadlem1  15896  apdifflemf  16778  apdifflemr  16779