Theorem abrexex2g 6088

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
abrexex2g	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { y | E. x e. A ph } e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, V, y   x, W, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1516	. . . 4 |- F/ z E. x e. A ph
2		nfcv 2308	. . . . 5 |- F/_ y A
3		nfs1v 1927	. . . . 5 |- F/ y [ z / y ] ph
4	2, 3	nfrexxy 2505	. . . 4 |- F/ y E. x e. A [ z / y ] ph
5		sbequ12 1759	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
6	5	rexbidv 2467	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A [ z / y ] ph ) )
7	1, 4, 6	cbvab 2290	. . 3 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
8		df-clab 2152	. . . . 5 |- ( z e. { y | ph } <-> [ z / y ] ph )
9	8	rexbii 2473	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. { y | ph } <-> E. x e. A [ z / y ] ph )
10	9	abbii 2282	. . 3 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
11	7, 10	eqtr4i 2189	. 2 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
12		df-iun 3868	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
13		iunexg 6087	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> U_ x e. A { y | ph } e. _V )
14	12, 13	eqeltrrid 2254	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { z | E. x e. A z e. { y | ph } } e. _V )
15	11, 14	eqeltrid 2253	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { y | E. x e. A ph } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   [wsb 1750   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   U_ciun 3866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  frecabex  6366