Theorem abrexex2g 6313

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
abrexex2g	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { y | E. x e. A ph } e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, V, y   x, W, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. . . 4 |- F/ z E. x e. A ph
2		nfcv 2384	. . . . 5 |- F/_ y A
3		nfs1v 1993	. . . . 5 |- F/ y [ z / y ] ph
4	2, 3	nfrexw 2581	. . . 4 |- F/ y E. x e. A [ z / y ] ph
5		sbequ12 1820	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
6	5	rexbidv 2543	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A [ z / y ] ph ) )
7	1, 4, 6	cbvab 2358	. . 3 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
8		df-clab 2219	. . . . 5 |- ( z e. { y | ph } <-> [ z / y ] ph )
9	8	rexbii 2549	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. { y | ph } <-> E. x e. A [ z / y ] ph )
10	9	abbii 2348	. . 3 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
11	7, 10	eqtr4i 2256	. 2 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
12		df-iun 3993	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
13		iunexg 6312	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> U_ x e. A { y | ph } e. _V )
14	12, 13	eqeltrrid 2320	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { z | E. x e. A z e. { y | ph } } e. _V )
15	11, 14	eqeltrid 2319	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { y | E. x e. A ph } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   [wsb 1811   e. wcel 2203   {cab 2218   A.wral 2520   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   U_ciun 3991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  frecabex  6629  plyval  15597