ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abrexex2g Unicode version

Theorem abrexex2g 6070
Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
abrexex2g  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  { y  |  E. x  e.  A  ph }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, V, y    x, W, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2g
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1508 . . . 4  |-  F/ z E. x  e.  A  ph
2 nfcv 2299 . . . . 5  |-  F/_ y A
3 nfs1v 1919 . . . . 5  |-  F/ y [ z  /  y ] ph
42, 3nfrexxy 2496 . . . 4  |-  F/ y E. x  e.  A  [ z  /  y ] ph
5 sbequ12 1751 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  [ z  /  y ] ph ) )
65rexbidv 2458 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  [
z  /  y ]
ph ) )
71, 4, 6cbvab 2281 . . 3  |-  { y  |  E. x  e.  A  ph }  =  { z  |  E. x  e.  A  [
z  /  y ]
ph }
8 df-clab 2144 . . . . 5  |-  ( z  e.  { y  | 
ph }  <->  [ z  /  y ] ph )
98rexbii 2464 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  { y  | 
ph }  <->  E. x  e.  A  [ z  /  y ] ph )
109abbii 2273 . . 3  |-  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  {
y  |  ph } }  =  { z  |  E. x  e.  A  [ z  /  y ] ph }
117, 10eqtr4i 2181 . 2  |-  { y  |  E. x  e.  A  ph }  =  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  { y  |  ph } }
12 df-iun 3853 . . 3  |-  U_ x  e.  A  { y  |  ph }  =  {
z  |  E. x  e.  A  z  e.  { y  |  ph } }
13 iunexg 6069 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  { y  |  ph }  e.  _V )
1412, 13eqeltrrid 2245 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  {
y  |  ph } }  e.  _V )
1511, 14eqeltrid 2244 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  {
y  |  ph }  e.  W )  ->  { y  |  E. x  e.  A  ph }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335   [wsb 1742    e. wcel 2128   {cab 2143   A.wral 2435   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   U_ciun 3851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180
This theorem is referenced by:  frecabex  6347
  Copyright terms: Public domain W3C validator