Theorem abrexex2g 6291

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
abrexex2g	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { y | E. x e. A ph } e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, V, y   x, W, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. . . 4 |- F/ z E. x e. A ph
2		nfcv 2375	. . . . 5 |- F/_ y A
3		nfs1v 1992	. . . . 5 |- F/ y [ z / y ] ph
4	2, 3	nfrexw 2572	. . . 4 |- F/ y E. x e. A [ z / y ] ph
5		sbequ12 1819	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
6	5	rexbidv 2534	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A [ z / y ] ph ) )
7	1, 4, 6	cbvab 2356	. . 3 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
8		df-clab 2218	. . . . 5 |- ( z e. { y | ph } <-> [ z / y ] ph )
9	8	rexbii 2540	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. { y | ph } <-> E. x e. A [ z / y ] ph )
10	9	abbii 2347	. . 3 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
11	7, 10	eqtr4i 2255	. 2 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
12		df-iun 3977	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
13		iunexg 6290	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> U_ x e. A { y | ph } e. _V )
14	12, 13	eqeltrrid 2319	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { z | E. x e. A z e. { y | ph } } e. _V )
15	11, 14	eqeltrid 2318	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { y | E. x e. A ph } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   [wsb 1810   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   U_ciun 3975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  frecabex  6607  plyval  15526