Theorem abrexex2g 6281

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
abrexex2g	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { y | E. x e. A ph } e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, V, y   x, W, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1576	. . . 4 |- F/ z E. x e. A ph
2		nfcv 2374	. . . . 5 |- F/_ y A
3		nfs1v 1992	. . . . 5 |- F/ y [ z / y ] ph
4	2, 3	nfrexw 2571	. . . 4 |- F/ y E. x e. A [ z / y ] ph
5		sbequ12 1819	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
6	5	rexbidv 2533	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A [ z / y ] ph ) )
7	1, 4, 6	cbvab 2355	. . 3 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
8		df-clab 2218	. . . . 5 |- ( z e. { y | ph } <-> [ z / y ] ph )
9	8	rexbii 2539	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. { y | ph } <-> E. x e. A [ z / y ] ph )
10	9	abbii 2347	. . 3 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
11	7, 10	eqtr4i 2255	. 2 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
12		df-iun 3972	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
13		iunexg 6280	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> U_ x e. A { y | ph } e. _V )
14	12, 13	eqeltrrid 2319	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { z | E. x e. A z e. { y | ph } } e. _V )
15	11, 14	eqeltrid 2318	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { y | E. x e. A ph } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   [wsb 1810   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2510   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   U_ciun 3970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  frecabex  6563  plyval  15455