Theorem abrexex2g 6204

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
abrexex2g	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { y | E. x e. A ph } e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, V, y   x, W, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1550	. . . 4 |- F/ z E. x e. A ph
2		nfcv 2347	. . . . 5 |- F/_ y A
3		nfs1v 1966	. . . . 5 |- F/ y [ z / y ] ph
4	2, 3	nfrexw 2544	. . . 4 |- F/ y E. x e. A [ z / y ] ph
5		sbequ12 1793	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
6	5	rexbidv 2506	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A [ z / y ] ph ) )
7	1, 4, 6	cbvab 2328	. . 3 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
8		df-clab 2191	. . . . 5 |- ( z e. { y | ph } <-> [ z / y ] ph )
9	8	rexbii 2512	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. { y | ph } <-> E. x e. A [ z / y ] ph )
10	9	abbii 2320	. . 3 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
11	7, 10	eqtr4i 2228	. 2 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
12		df-iun 3928	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
13		iunexg 6203	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> U_ x e. A { y | ph } e. _V )
14	12, 13	eqeltrrid 2292	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { z | E. x e. A z e. { y | ph } } e. _V )
15	11, 14	eqeltrid 2291	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A { y | ph } e. W ) -> { y | E. x e. A ph } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   [wsb 1784   e. wcel 2175   {cab 2190   A.wral 2483   E.wrex 2484   _Vcvv 2771   U_ciun 3926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278

This theorem is referenced by:  frecabex  6483  plyval  15146