Theorem frecabex 6456

Description: The class abstraction from df-frec 6449 exists. This is a lemma for other finite recursion proofs. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecabex.sex	|- ( ph -> S e. V )
frecabex.fvex	|- ( ph -> A. y ( F ` y ) e. _V )
frecabex.aex	|- ( ph -> A e. W )

Assertion

Ref	Expression
frecabex	|- ( ph -> { x | ( E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) \/ ( dom S = (/) /\ x e. A ) ) } e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, S, y   ph, m   x, m, y   y, F

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( y, m)   S( m)   F( m)   V( x, y, m)   W( x, y, m)

Proof of Theorem frecabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4629	. . . 4 |- om e. _V
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) -> x e. ( F ` ( S ` m ) ) )
3	2	abssi 3258	. . . . . 6 |- { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } C_ ( F ` ( S ` m ) )
4		frecabex.sex	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. V )
5		vex 2766	. . . . . . . 8 |- m e. _V
6		fvexg 5577	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ m e. _V ) -> ( S ` m ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S ` m ) e. _V )
8		frecabex.fvex	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y ( F ` y ) e. _V )
9		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( S ` m ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( S ` m ) ) )
10	9	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( y = ( S ` m ) -> ( ( F ` y ) e. _V <-> ( F ` ( S ` m ) ) e. _V ) )
11	10	spcgv 2851	. . . . . . 7 |- ( ( S ` m ) e. _V -> ( A. y ( F ` y ) e. _V -> ( F ` ( S ` m ) ) e. _V ) )
12	7, 8, 11	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( S ` m ) ) e. _V )
13		ssexg 4172	. . . . . 6 |- ( ( { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } C_ ( F ` ( S ` m ) ) /\ ( F ` ( S ` m ) ) e. _V ) -> { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V )
14	3, 12, 13	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V )
15	14	ralrimivw 2571	. . . 4 |- ( ph -> A. m e. om { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V )
16		abrexex2g 6177	. . . 4 |- ( ( om e. _V /\ A. m e. om { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V ) -> { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V )
17	1, 15, 16	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V )
18		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( dom S = (/) /\ x e. A ) -> x e. A )
19	18	abssi 3258	. . . 4 |- { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } C_ A
20		frecabex.aex	. . . 4 |- ( ph -> A e. W )
21		ssexg 4172	. . . 4 |- ( ( { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } C_ A /\ A e. W ) -> { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } e. _V )
22	19, 20, 21	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } e. _V )
23	17, 22	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V /\ { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } e. _V ) )
24		unexb 4477	. . 3 |- ( ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V /\ { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } e. _V ) <-> ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } u. { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } ) e. _V )
25		unab 3430	. . . 4 |- ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } u. { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } ) = { x | ( E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) \/ ( dom S = (/) /\ x e. A ) ) }
26	25	eleq1i 2262	. . 3 |- ( ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } u. { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } ) e. _V <-> { x | ( E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) \/ ( dom S = (/) /\ x e. A ) ) } e. _V )
27	24, 26	bitri 184	. 2 |- ( ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V /\ { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } e. _V ) <-> { x | ( E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) \/ ( dom S = (/) /\ x e. A ) ) } e. _V )
28	23, 27	sylib 122	1 |- ( ph -> { x | ( E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) \/ ( dom S = (/) /\ x e. A ) ) } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3450   suc csuc 4400   omcom 4626   dom cdm 4663   ` cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  frectfr  6458