Theorem abrexex2g 6099

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
abrexex2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem abrexex2g

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1521	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑
2		nfcv 2312	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfs1v 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦[𝑧 / 𝑦]𝜑
4	2, 3	nfrexxy 2509	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑧 / 𝑦]𝜑
5		sbequ12 1764	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑦]𝜑))
6	5	rexbidv 2471	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑧 / 𝑦]𝜑))
7	1, 4, 6	cbvab 2294	. . 3 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑} = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑧 / 𝑦]𝜑}
8		df-clab 2157	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ [𝑧 / 𝑦]𝜑)
9	8	rexbii 2477	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
10	9	abbii 2286	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑}} = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 [𝑧 / 𝑦]𝜑}
11	7, 10	eqtr4i 2194	. 2 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑} = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑}}
12		df-iun 3875	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑}}
13		iunexg 6098	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} ∈ 𝑊) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} ∈ V)
14	12, 13	eqeltrrid 2258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} ∈ 𝑊) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ 𝜑}} ∈ V)
15	11, 14	eqeltrid 2257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∣ 𝜑} ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348  [wsb 1755   ∈ wcel 2141  {cab 2156  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  Vcvv 2730  ∪ ciun 3873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  frecabex  6377