ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abrexex2g GIF version

Theorem abrexex2g 6018
Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
abrexex2g ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 {𝑦𝜑} ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝜑} ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem abrexex2g
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1508 . . . 4 𝑧𝑥𝐴 𝜑
2 nfcv 2281 . . . . 5 𝑦𝐴
3 nfs1v 1912 . . . . 5 𝑦[𝑧 / 𝑦]𝜑
42, 3nfrexxy 2472 . . . 4 𝑦𝑥𝐴 [𝑧 / 𝑦]𝜑
5 sbequ12 1744 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑦]𝜑))
65rexbidv 2438 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 [𝑧 / 𝑦]𝜑))
71, 4, 6cbvab 2263 . . 3 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝜑} = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 [𝑧 / 𝑦]𝜑}
8 df-clab 2126 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑦𝜑} ↔ [𝑧 / 𝑦]𝜑)
98rexbii 2442 . . . 4 (∃𝑥𝐴 𝑧 ∈ {𝑦𝜑} ↔ ∃𝑥𝐴 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
109abbii 2255 . . 3 {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 ∈ {𝑦𝜑}} = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 [𝑧 / 𝑦]𝜑}
117, 10eqtr4i 2163 . 2 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝜑} = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 ∈ {𝑦𝜑}}
12 df-iun 3815 . . 3 𝑥𝐴 {𝑦𝜑} = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 ∈ {𝑦𝜑}}
13 iunexg 6017 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 {𝑦𝜑} ∈ 𝑊) → 𝑥𝐴 {𝑦𝜑} ∈ V)
1412, 13eqeltrrid 2227 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 {𝑦𝜑} ∈ 𝑊) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 ∈ {𝑦𝜑}} ∈ V)
1511, 14eqeltrid 2226 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 {𝑦𝜑} ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝜑} ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  [wsb 1735  {cab 2125  wral 2416  wrex 2417  Vcvv 2686   ciun 3813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131
This theorem is referenced by:  frecabex  6295
  Copyright terms: Public domain W3C validator