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Theorem opabex3d 5851
Description: Existence of an ordered pair abstraction, deduction version. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex3d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
opabex3d.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { y  |  ps }  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
opabex3d  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( x, y)

Proof of Theorem opabex3d
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1831 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) )
2 an12 526 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ps ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
32exbii 1539 . . . . . 6  |-  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
4 elxp 4430 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. v E. w ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
5 excom 1597 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
6 an12 526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( v  e.  { x }  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
7 velsn 3448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { x }  <->  v  =  x )
87anbi1i 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  { x }  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) ) )
96, 8bitri 182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( v  =  x  /\  (
z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
109exbii 1539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  E. v
( v  =  x  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
11 vex 2618 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
12 opeq1 3607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  <. v ,  w >.  =  <. x ,  w >. )
1312eqeq2d 2096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  x  ->  (
z  =  <. v ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  w >. )
)
1413anbi1d 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) ) )
1511, 14ceqsexv 2652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )
1610, 15bitri 182 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )
1716exbii 1539 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. v ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )
185, 17bitri 182 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )
19 nfv 1464 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  z  =  <. x ,  w >.
20 nfsab1 2075 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  w  e.  { y  |  ps }
2119, 20nfan 1500 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )
22 nfv 1464 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps )
23 opeq2 3608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  <. x ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
2423eqeq2d 2096 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
z  =  <. x ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  y >. )
)
25 sbequ12 1698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<->  [ w  /  y ] ps ) )
2625equcoms 1638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( ps 
<->  [ w  /  y ] ps ) )
27 df-clab 2072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { y  |  ps }  <->  [ w  /  y ] ps )
2826, 27syl6rbbr 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  { y  |  ps }  <->  ps )
)
2924, 28anbi12d 457 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) )
3021, 22, 29cbvex 1683 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( z  = 
<. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) )
314, 18, 303bitri 204 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) )
3231anbi2i 445 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
331, 3, 323bitr4ri 211 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ps ) ) )
3433exbii 1539 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) ) )
35 eliun 3719 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) )
36 df-rex 2361 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) ) )
3735, 36bitri 182 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) ) )
38 elopab 4061 . . . 4  |-  ( z  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) ) )
3934, 37, 383bitr4i 210 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  z  e.  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) } )
4039eqriv 2082 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }
41 opabex3d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
42 snexg 3995 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  { x }  e.  _V )
4311, 42ax-mp 7 . . . . 5  |-  { x }  e.  _V
44 opabex3d.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { y  |  ps }  e.  _V )
45 xpexg 4522 . . . . 5  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  { y  |  ps }  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e. 
_V )
4643, 44, 45sylancr 405 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
4746ralrimiva 2442 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
48 iunexg 5849 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
4941, 47, 48syl2anc 403 . 2  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
5040, 49syl5eqelr 2172 1  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   [wsb 1689   {cab 2071   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2615   {csn 3431   <.cop 3434   U_ciun 3715   {copab 3875    X. cxp 4411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991
This theorem is referenced by:  ovshftex  10153
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