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Theorem opabex3d 6026
Description: Existence of an ordered pair abstraction, deduction version. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex3d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
opabex3d.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { y  |  ps }  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
opabex3d  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( x, y)

Proof of Theorem opabex3d
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1879 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) )
2 an12 551 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ps ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
32exbii 1585 . . . . . 6  |-  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
4 elxp 4563 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. v E. w ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
5 excom 1643 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
6 an12 551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( v  e.  { x }  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
7 velsn 3548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { x }  <->  v  =  x )
87anbi1i 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  { x }  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) ) )
96, 8bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( v  =  x  /\  (
z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
109exbii 1585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  E. v
( v  =  x  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
11 vex 2692 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
12 opeq1 3712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  <. v ,  w >.  =  <. x ,  w >. )
1312eqeq2d 2152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  x  ->  (
z  =  <. v ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  w >. )
)
1413anbi1d 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) ) )
1511, 14ceqsexv 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )
1610, 15bitri 183 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )
1716exbii 1585 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. v ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )
185, 17bitri 183 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )
19 nfv 1509 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  z  =  <. x ,  w >.
20 nfsab1 2130 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  w  e.  { y  |  ps }
2119, 20nfan 1545 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )
22 nfv 1509 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps )
23 opeq2 3713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  <. x ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
2423eqeq2d 2152 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
z  =  <. x ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  y >. )
)
25 sbequ12 1745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<->  [ w  /  y ] ps ) )
2625equcoms 1685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( ps 
<->  [ w  /  y ] ps ) )
27 df-clab 2127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { y  |  ps }  <->  [ w  /  y ] ps )
2826, 27syl6rbbr 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  { y  |  ps }  <->  ps )
)
2924, 28anbi12d 465 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) )
3021, 22, 29cbvex 1730 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( z  = 
<. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) )
314, 18, 303bitri 205 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) )
3231anbi2i 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
331, 3, 323bitr4ri 212 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ps ) ) )
3433exbii 1585 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) ) )
35 eliun 3824 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) )
36 df-rex 2423 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) ) )
3735, 36bitri 183 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) ) )
38 elopab 4187 . . . 4  |-  ( z  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) ) )
3934, 37, 383bitr4i 211 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  z  e.  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) } )
4039eqriv 2137 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }
41 opabex3d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
42 snexg 4115 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  { x }  e.  _V )
4311, 42ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x }  e.  _V
44 opabex3d.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { y  |  ps }  e.  _V )
45 xpexg 4660 . . . . 5  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  { y  |  ps }  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e. 
_V )
4643, 44, 45sylancr 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
4746ralrimiva 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
48 iunexg 6024 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
4941, 47, 48syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
5040, 49eqeltrrid 2228 1  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   [wsb 1736   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   {csn 3531   <.cop 3534   U_ciun 3820   {copab 3995    X. cxp 4544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138
This theorem is referenced by:  acfun  7079  ccfunen  7095  ovshftex  10622
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