Theorem aprunit 14702

Description: The df-apr 14700 relation with zero expresses whether a ring element is a unit. That is, the difference of an element of a ring and zero is invertible iff the element is a unit. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprunit.b	|- B = ( Base ` R )
aprunit.0	|- .0. = ( 0g ` R )
aprunit.u	|- U = (Unit ` R )
aprunit.ap	|- # = ( #r ` R )
aprunit.r	|- ( ph -> R e. Ring )
aprunit.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
aprunit	|- ( ph -> ( X # .0. <-> X e. U ) )

Proof of Theorem aprunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprunit.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3		aprunit.ap	. . . 4 |- # = ( #r ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> # = ( #r ` R ) )
5		eqidd 2239	. . 3 |- ( ph -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
6		aprunit.u	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> U = (Unit ` R ) )
8		aprunit.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
9		aprunit.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
10		aprunit.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
11	1, 10	ring0cl 14434	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )
12	8, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> .0. e. B )
13	2, 4, 5, 7, 8, 9, 12	aprval 14701	. 2 |- ( ph -> ( X # .0. <-> ( X ( -g ` R ) .0. ) e. U ) )
14	8	ringgrpd 14417	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
15		eqid 2238	. . . . 5 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
16	1, 10, 15	grpsubid1 13950	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ X e. B ) -> ( X ( -g ` R ) .0. ) = X )
17	14, 9, 16	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( X ( -g ` R ) .0. ) = X )
18	17	eleq1d 2307	. 2 |- ( ph -> ( ( X ( -g ` R ) .0. ) e. U <-> X e. U ) )
19	13, 18	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( X # .0. <-> X e. U ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13411   0gc0g 13670   Grpcgrp 13865   -gcsg 13867   Ringcrg 14408  Unitcui 14503   #_r capr 14699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-sbg 13870  df-ring 14410  df-apr 14700

This theorem is used by:  ringunitap  14703  drngunitap  14718