Theorem aprunit 14676

Description: The df-apr 14674 relation with zero expresses whether a ring element is a unit. That is, the difference of an element of a ring and zero is invertible iff the element is a unit. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
aprunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
aprunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
aprunit.ap	⊢ # = (#r‘𝑅)
aprunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
aprunit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprunit	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem aprunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprunit.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		aprunit.ap	. . . 4 ⊢ # = (#r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
5		eqidd 2239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
6		aprunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
8		aprunit.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		aprunit.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		aprunit.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11	1, 10	ring0cl 14410	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
13	2, 4, 5, 7, 8, 9, 12	aprval 14675	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝑈))
14	8	ringgrpd 14393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
16	1, 10, 15	grpsubid1 13943	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) = 𝑋)
17	14, 9, 16	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) = 𝑋)
18	17	eleq1d 2307	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
19	13, 18	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13404  0_gc0g 13663  Grpcgrp 13858  -_gcsg 13860  Ringcrg 14384  Unitcui 14477  #_rcapr 14673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-sbg 13863  df-ring 14386  df-apr 14674

This theorem is used by:  ringunitap  14677  drngunitap  14692