Theorem aprunit 14575

Description: The df-apr 14573 relation with zero expresses whether a ring element is a unit. That is, the difference of an element of a ring and zero is invertible iff the element is a unit. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
aprunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
aprunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
aprunit.ap	⊢ # = (#r‘𝑅)
aprunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
aprunit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprunit	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem aprunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprunit.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		aprunit.ap	. . . 4 ⊢ # = (#r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
5		eqidd 2239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
6		aprunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
8		aprunit.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		aprunit.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		aprunit.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11	1, 10	ring0cl 14309	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
13	2, 4, 5, 7, 8, 9, 12	aprval 14574	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝑈))
14	8	ringgrpd 14292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
16	1, 10, 15	grpsubid1 13873	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) = 𝑋)
17	14, 9, 16	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) = 𝑋)
18	17	eleq1d 2307	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
19	13, 18	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  0_gc0g 13593  Grpcgrp 13788  -_gcsg 13790  Ringcrg 14283  Unitcui 14376  #_rcapr 14572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-sbg 13793  df-ring 14285  df-apr 14573

This theorem is referenced by:  ringunitap  14576  drngunitap  14591