Theorem aprunit 14452

Description: The df-apr 14450 relation with zero expresses whether a ring element is a unit. That is, the difference of an element of a ring and zero is invertible iff the element is a unit. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
aprunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
aprunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
aprunit.ap	⊢ # = (#r‘𝑅)
aprunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
aprunit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprunit	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem aprunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprunit.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		aprunit.ap	. . . 4 ⊢ # = (#r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
5		eqidd 2235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
6		aprunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
8		aprunit.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		aprunit.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		aprunit.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11	1, 10	ring0cl 14186	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
13	2, 4, 5, 7, 8, 9, 12	aprval 14451	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝑈))
14	8	ringgrpd 14170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
16	1, 10, 15	grpsubid1 13819	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) = 𝑋)
17	14, 9, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) = 𝑋)
18	17	eleq1d 2303	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
19	13, 18	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  0_gc0g 13490  Grpcgrp 13734  -_gcsg 13736  Ringcrg 14161  Unitcui 14253  #_rcapr 14449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-sbg 13739  df-ring 14163  df-apr 14450

This theorem is referenced by:  ringunitap  14453  drngunitap  14468