Theorem aprunit 14533

Description: The df-apr 14531 relation with zero expresses whether a ring element is a unit. That is, the difference of an element of a ring and zero is invertible iff the element is a unit. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
aprunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
aprunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
aprunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
aprunit.ap	⊢ # = (#r‘𝑅)
aprunit.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
aprunit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
aprunit	⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem aprunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aprunit.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		aprunit.ap	. . . 4 ⊢ # = (#r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → # = (#r‘𝑅))
5		eqidd 2235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
6		aprunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
8		aprunit.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		aprunit.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		aprunit.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11	1, 10	ring0cl 14267	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
13	2, 4, 5, 7, 8, 9, 12	aprval 14532	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝑈))
14	8	ringgrpd 14251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
16	1, 10, 15	grpsubid1 13843	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) = 𝑋)
17	14, 9, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑅) 0 ) = 𝑋)
18	17	eleq1d 2303	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
19	13, 18	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13299  0_gc0g 13556  Grpcgrp 13758  -_gcsg 13760  Ringcrg 14242  Unitcui 14334  #_rcapr 14530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-0g 13558  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-sbg 13763  df-ring 14244  df-apr 14531

This theorem is referenced by:  ringunitap  14534  drngunitap  14549