Theorem ring0cl 14096

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	|- B = ( Base ` R )
ring0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	|- ( R e. Ring -> .0. e. B )

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 14076	. 2 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
2		ring0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		ring0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	grpidcl 13673	. 2 |- ( R e. Grp -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333   Basecbs 13143   0gc0g 13400   Grpcgrp 13644   Ringcrg 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-ring 14073

This theorem is referenced by:  dvdsr01  14180  dvdsr02  14181  isnzr2  14260  ringelnzr  14263  01eq0ring  14265  lmod0cl  14390  lmod0vs  14397  lmodvs0  14398  psr1clfi  14769