Theorem ring0cl 14249

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	|- B = ( Base ` R )
ring0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	|- ( R e. Ring -> .0. e. B )

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 14229	. 2 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
2		ring0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		ring0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	grpidcl 13826	. 2 |- ( R e. Grp -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357   Basecbs 13296   0gc0g 13553   Grpcgrp 13797   Ringcrg 14224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-ring 14226

This theorem is referenced by:  dvdsr01  14334  dvdsr02  14335  isnzr2  14414  ringelnzr  14417  01eq0ring  14419  rrgsupp  14497  aprunit  14515  ringen1zr  14546  lmod0cl  14574  lmod0vs  14581  lmodvs0  14582  psr1clfi  14955