Theorem ring0cl 13209

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	|- B = ( Base ` R )
ring0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	|- ( R e. Ring -> .0. e. B )

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 13189	. 2 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
2		ring0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		ring0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	grpidcl 12909	. 2 |- ( R e. Grp -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218   Basecbs 12464   0gc0g 12710   Grpcgrp 12882   Ringcrg 13184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-ring 13186

This theorem is referenced by:  dvdsr01  13278  dvdsr02  13279  ringelnzr  13333  01eq0ring  13335  lmod0cl  13409  lmod0vs  13416  lmodvs0  13417