Theorem ring0cl 13992

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	|- B = ( Base ` R )
ring0cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	|- ( R e. Ring -> .0. e. B )

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 13972	. 2 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
2		ring0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		ring0cl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	grpidcl 13570	. 2 |- ( R e. Grp -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318   Basecbs 13040   0gc0g 13297   Grpcgrp 13541   Ringcrg 13967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-ring 13969

This theorem is referenced by:  dvdsr01  14076  dvdsr02  14077  isnzr2  14156  ringelnzr  14159  01eq0ring  14161  lmod0cl  14286  lmod0vs  14293  lmodvs0  14294  psr1clfi  14660