Theorem bitsf 12568

Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf	|- bits : ZZ --> ~P NN0

Proof of Theorem bitsf

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 12563	. 2 |- bits = ( n e. ZZ |-> { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } )
2		nn0ex 9451	. . . 4 |- NN0 e. _V
3		ssrab2 3313	. . . 4 |- { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } C_ NN0
4	2, 3	elpwi2 4253	. . 3 |- { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } e. ~P NN0
5	4	a1i 9	. 2 |- ( n e. ZZ -> { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } e. ~P NN0 )
6	1, 5	fmpti 5807	1 |- bits : ZZ --> ~P NN0

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2202   {crab 2515   _Vcvv 2803   ~Pcpw 3656   class class class wbr 4093   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   / cdiv 8895   2c2 9237   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   |_cfl 10572   ^cexp 10844   || cdvds 12409  bitscbits 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-i2m1 8180

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-inn 9187  df-n0 9446  df-bits 12563

This theorem is referenced by: (None)