Theorem bitsf 12465

Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf	|- bits : ZZ --> ~P NN0

Proof of Theorem bitsf

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 12460	. 2 |- bits = ( n e. ZZ |-> { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } )
2		nn0ex 9383	. . . 4 |- NN0 e. _V
3		ssrab2 3309	. . . 4 |- { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } C_ NN0
4	2, 3	elpwi2 4242	. . 3 |- { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } e. ~P NN0
5	4	a1i 9	. 2 |- ( n e. ZZ -> { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } e. ~P NN0 )
6	1, 5	fmpti 5789	1 |- bits : ZZ --> ~P NN0

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   ~Pcpw 3649   class class class wbr 4083   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   / cdiv 8827   2c2 9169   NN0cn0 9377   ZZcz 9454   |_cfl 10496   ^cexp 10768   || cdvds 12306  bitscbits 12459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-i2m1 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-inn 9119  df-n0 9378  df-bits 12460

This theorem is referenced by: (None)