Theorem bitsf 12696

Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf	|- bits : ZZ --> ~P NN0

Proof of Theorem bitsf

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 12691	. 2 |- bits = ( n e. ZZ |-> { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } )
2		nn0ex 9552	. . . 4 |- NN0 e. _V
3		ssrab2 3333	. . . 4 |- { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } C_ NN0
4	2, 3	elpwi2 4292	. . 3 |- { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } e. ~P NN0
5	4	a1i 9	. 2 |- ( n e. ZZ -> { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } e. ~P NN0 )
6	1, 5	fmpti 5854	1 |- bits : ZZ --> ~P NN0

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4128   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   / cdiv 8996   2c2 9338   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   |_cfl 10686   ^cexp 10958   || cdvds 12537  bitscbits 12690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-i2m1 8278

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-inn 9288  df-n0 9547  df-bits 12691

This theorem is referenced by: (None)