Theorem bitsf 12657

Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf	|- bits : ZZ --> ~P NN0

Proof of Theorem bitsf

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 12652	. 2 |- bits = ( n e. ZZ |-> { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } )
2		nn0ex 9519	. . . 4 |- NN0 e. _V
3		ssrab2 3327	. . . 4 |- { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } C_ NN0
4	2, 3	elpwi2 4275	. . 3 |- { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } e. ~P NN0
5	4	a1i 9	. 2 |- ( n e. ZZ -> { k e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ k ) ) ) } e. ~P NN0 )
6	1, 5	fmpti 5834	1 |- bits : ZZ --> ~P NN0

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2205   {crab 2526   _Vcvv 2815   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   / cdiv 8963   2c2 9305   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   |_cfl 10652   ^cexp 10924   || cdvds 12498  bitscbits 12651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-i2m1 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-inn 9255  df-n0 9514  df-bits 12652

This theorem is referenced by: (None)