Theorem bitsdc 12328

Description: Whether a bit is set is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
bitsdc	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID M e. (bits ` N ) )

Proof of Theorem bitsdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9213	. . . 4 |- 2 e. NN
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. NN )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. NN0 )
4	2, 3	nnexpcld 10857	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
5		znq 9760	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ M ) e. NN ) -> ( N / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
6	4, 5	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
7	6	flqcld 10437	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ )
8		dvdsdc 12179	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN /\ ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
9	1, 7, 8	sylancr 414	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
10		dcn 844	. . 3 |- (DECID 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) -> DECID -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
12		bitsval2 12325	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
13	12	dcbid 840	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> (DECID M e. (bits ` N ) <-> DECID -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
14	11, 13	mpbird 167	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID M e. (bits ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   e. wcel 2177   class class class wbr 4050   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   / cdiv 8760   NNcn 9051   2c2 9102   NN0cn0 9310   ZZcz 9387   QQcq 9755   |_cfl 10428   ^cexp 10700   || cdvds 12168  bitscbits 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-fl 10430  df-mod 10485  df-seqfrec 10610  df-exp 10701  df-dvds 12169  df-bits 12322

This theorem is referenced by:  bitsfi  12338  bitsinv1lem  12342  bitsinv1  12343