Theorem bitsf 12715

Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf	⊢ bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0

Proof of Theorem bitsf

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 12710	. 2 ⊢ bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))})
2		nn0ex 9571	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		ssrab2 3333	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ⊆ ℕ0
4	2, 3	elpwi2 4294	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ∈ 𝒫 ℕ0
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑘)))} ∈ 𝒫 ℕ0)
6	1, 5	fmpti 5860	1 ⊢ bits:ℤ⟶𝒫 ℕ0

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4130  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   / cdiv 9003  2c2 9356  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646  ⌊cfl 10705  ↑cexp 10977   ∥ cdvds 12556  bitscbits 12709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-inn 9306  df-n0 9566  df-bits 12710

This theorem is used by: (None)