Theorem bitsss 12499

Description: The set of bits of an integer is a subset of NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsss	|- (bits ` N ) C_ NN0

Proof of Theorem bitsss

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval 12497	. . 3 |- ( m e. (bits ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
2	1	simp2bi 1037	. 2 |- ( m e. (bits ` N ) -> m e. NN0 )
3	2	ssriv 3229	1 |- (bits ` N ) C_ NN0

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2200   C_ wss 3198   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   / cdiv 8845   2c2 9187   NN0cn0 9395   ZZcz 9472   |_cfl 10521   ^cexp 10793   || cdvds 12341  bitscbits 12494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-i2m1 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9137  df-n0 9396  df-bits 12495

This theorem is referenced by: (None)