Theorem bitsval2 12128

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval2	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )

Proof of Theorem bitsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval 12127	. . 3 |- ( M e. (bits ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
2		df-3an 982	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) <-> ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
3	1, 2	bitri 184	. 2 |- ( M e. (bits ` N ) <-> ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
4	3	baib 920	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   / cdiv 8718   2c2 9060   NN0cn0 9268   ZZcz 9345   |_cfl 10377   ^cexp 10649   || cdvds 11971  bitscbits 12124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-i2m1 8003

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9010  df-n0 9269  df-bits 12125

This theorem is referenced by:  bitsdc  12131  bits0  12132  bitsp1  12135  bitsfzolem  12138  bitsfzo  12139  bitsmod  12140  bitscmp  12142  bitsinv1lem  12145