Theorem bitsval2 12692

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval2	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )

Proof of Theorem bitsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval 12691	. . 3 |- ( M e. (bits ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
2		df-3an 1011	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) <-> ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
3	1, 2	bitri 184	. 2 |- ( M e. (bits ` N ) <-> ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
4	3	baib 931	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   / cdiv 8995   2c2 9337   NN0cn0 9545   ZZcz 9626   |_cfl 10684   ^cexp 10956   || cdvds 12535  bitscbits 12688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-i2m1 8277

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6081  df-inn 9287  df-n0 9546  df-bits 12689

This theorem is referenced by:  bitsdc  12695  bits0  12696  bitsp1  12699  bitsfzolem  12702  bitsfzo  12703  bitsmod  12704  bitscmp  12706  bitsinv1lem  12709