Theorem bitsval2 12476

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval2	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )

Proof of Theorem bitsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval 12475	. . 3 |- ( M e. (bits ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
2		df-3an 1004	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) <-> ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
3	1, 2	bitri 184	. 2 |- ( M e. (bits ` N ) <-> ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
4	3	baib 924	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   / cdiv 8835   2c2 9177   NN0cn0 9385   ZZcz 9462   |_cfl 10505   ^cexp 10777   || cdvds 12319  bitscbits 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-i2m1 8120

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-ov 6013  df-inn 9127  df-n0 9386  df-bits 12473

This theorem is referenced by:  bitsdc  12479  bits0  12480  bitsp1  12483  bitsfzolem  12486  bitsfzo  12487  bitsmod  12488  bitscmp  12490  bitsinv1lem  12493