Theorem bitsval 12497

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval	|- ( M e. (bits ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )

Proof of Theorem bitsval

Dummy variables n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 12495	. . . 4 |- bits = ( n e. ZZ |-> { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5725	. . 3 |- ( M e. (bits ` N ) -> N e. ZZ )
3		bitsfval 12496	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> (bits ` N ) = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )
4	3	eleq2d 2299	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M e. (bits ` N ) <-> M e. { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } ) )
5		oveq2 6021	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ M ) )
6	5	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( N / ( 2 ^ m ) ) = ( N / ( 2 ^ M ) ) )
7	6	fveq2d 5639	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
8	7	breq2d 4098	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
9	8	notbid 671	. . . . 5 |- ( m = M -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
10	9	elrab 2960	. . . 4 |- ( M e. { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } <-> ( M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
11	4, 10	bitrdi 196	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( M e. (bits ` N ) <-> ( M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) ) )
12	2, 11	biadanii 615	. 2 |- ( M e. (bits ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) ) )
13		3anass 1006	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) ) )
14	12, 13	bitr4i 187	1 |- ( M e. (bits ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   / cdiv 8845   2c2 9187   NN0cn0 9395   ZZcz 9472   |_cfl 10521   ^cexp 10793   || cdvds 12341  bitscbits 12494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-i2m1 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9137  df-n0 9396  df-bits 12495

This theorem is referenced by:  bitsval2  12498  bitsss  12499  bitsfzo  12509  bitsmod  12510  bitscmp  12512