Theorem bitsval 12712

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval	|- ( M e. (bits ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )

Proof of Theorem bitsval

Dummy variables n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bits 12710	. . . 4 |- bits = ( n e. ZZ |-> { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( n / ( 2 ^ m ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5788	. . 3 |- ( M e. (bits ` N ) -> N e. ZZ )
3		bitsfval 12711	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> (bits ` N ) = { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } )
4	3	eleq2d 2308	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( M e. (bits ` N ) <-> M e. { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } ) )
5		oveq2 6093	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ M ) )
6	5	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( N / ( 2 ^ m ) ) = ( N / ( 2 ^ M ) ) )
7	6	fveq2d 5699	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
8	7	breq2d 4142	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
9	8	notbid 677	. . . . 5 |- ( m = M -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
10	9	elrab 2982	. . . 4 |- ( M e. { m e. NN0 | -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) } <-> ( M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
11	4, 10	bitrdi 196	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( M e. (bits ` N ) <-> ( M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) ) )
12	2, 11	biadanii 621	. 2 |- ( M e. (bits ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) ) )
13		3anass 1013	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) <-> ( N e. ZZ /\ ( M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) ) )
14	12, 13	bitr4i 187	1 |- ( M e. (bits ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ M e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   / cdiv 9003   2c2 9356   NN0cn0 9565   ZZcz 9646   |_cfl 10705   ^cexp 10977   || cdvds 12556  bitscbits 12709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9306  df-n0 9566  df-bits 12710

This theorem is used by:  bitsval2  12713  bitsss  12714  bitsfzo  12724  bitsmod  12725  bitscmp  12727