Theorem caofdig 6278

Description: Transfer a distributive law to the function operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofdi.1	|- ( ph -> A e. V )
caofdi.2	|- ( ph -> F : A --> K )
caofdi.3	|- ( ph -> G : A --> S )
caofdi.4	|- ( ph -> H : A --> S )
caofdig.r	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x R y ) e. V )
caofdig.t	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. W )
caofdi.5	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x T ( y R z ) ) = ( ( x T y ) O ( x T z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caofdig	|- ( ph -> ( F oF T ( G oF R H ) ) = ( ( F oF T G ) oF O ( F oF T H ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, F, y, z   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, H, y, z   x, K, y, z   x, O, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z   x, T, y, z   x, V, y   x, W, y

Allowed substitution hints:   V( z)   W( z)

Proof of Theorem caofdig

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caofdi.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x T ( y R z ) ) = ( ( x T y ) O ( x T z ) ) )
2	1	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. A ) /\ ( x e. K /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x T ( y R z ) ) = ( ( x T y ) O ( x T z ) ) )
3		caofdi.2	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> K )
4	3	ffvelcdmda 5790	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( F ` w ) e. K )
5		caofdi.3	. . . . 5 |- ( ph -> G : A --> S )
6	5	ffvelcdmda 5790	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( G ` w ) e. S )
7		caofdi.4	. . . . 5 |- ( ph -> H : A --> S )
8	7	ffvelcdmda 5790	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( H ` w ) e. S )
9	2, 4, 6, 8	caovdid 6208	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( F ` w ) T ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) = ( ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) O ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) )
10	9	mpteq2dva 4184	. 2 |- ( ph -> ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) ) = ( w e. A |-> ( ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) O ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) ) )
11		caofdi.1	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
12		oveq2 6036	. . . . 5 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( G ` w ) R y ) = ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) )
13	12	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( ( G ` w ) R y ) e. V <-> ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) e. V ) )
14		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` w ) -> ( x R y ) = ( ( G ` w ) R y ) )
15	14	eleq1d 2300	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` w ) -> ( ( x R y ) e. V <-> ( ( G ` w ) R y ) e. V ) )
16	15	ralbidv 2533	. . . . 5 |- ( x = ( G ` w ) -> ( A. y e. S ( x R y ) e. V <-> A. y e. S ( ( G ` w ) R y ) e. V ) )
17		caofdig.r	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x R y ) e. V )
18	17	ralrimivva 2615	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x R y ) e. V )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. x e. S A. y e. S ( x R y ) e. V )
20	16, 19, 6	rspcdva 2916	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. y e. S ( ( G ` w ) R y ) e. V )
21	13, 20, 8	rspcdva 2916	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) e. V )
22	3	feqmptd 5708	. . 3 |- ( ph -> F = ( w e. A |-> ( F ` w ) ) )
23	5	feqmptd 5708	. . . 4 |- ( ph -> G = ( w e. A |-> ( G ` w ) ) )
24	7	feqmptd 5708	. . . 4 |- ( ph -> H = ( w e. A |-> ( H ` w ) ) )
25	11, 6, 8, 23, 24	offval2 6260	. . 3 |- ( ph -> ( G oF R H ) = ( w e. A |-> ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) )
26	11, 4, 21, 22, 25	offval2 6260	. 2 |- ( ph -> ( F oF T ( G oF R H ) ) = ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) ) )
27		oveq2 6036	. . . . 5 |- ( y = ( G ` w ) -> ( ( F ` w ) T y ) = ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) )
28	27	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( y = ( G ` w ) -> ( ( ( F ` w ) T y ) e. W <-> ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) e. W ) )
29		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` w ) -> ( x T y ) = ( ( F ` w ) T y ) )
30	29	eleq1d 2300	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` w ) -> ( ( x T y ) e. W <-> ( ( F ` w ) T y ) e. W ) )
31	30	ralbidv 2533	. . . . 5 |- ( x = ( F ` w ) -> ( A. y e. S ( x T y ) e. W <-> A. y e. S ( ( F ` w ) T y ) e. W ) )
32		caofdig.t	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. W )
33	32	ralrimivva 2615	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. K A. y e. S ( x T y ) e. W )
34	33	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. x e. K A. y e. S ( x T y ) e. W )
35	31, 34, 4	rspcdva 2916	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. y e. S ( ( F ` w ) T y ) e. W )
36	28, 35, 6	rspcdva 2916	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) e. W )
37		oveq2 6036	. . . . 5 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( F ` w ) T y ) = ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) )
38	37	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( ( F ` w ) T y ) e. W <-> ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) e. W ) )
39	38, 35, 8	rspcdva 2916	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) e. W )
40	11, 4, 6, 22, 23	offval2 6260	. . 3 |- ( ph -> ( F oF T G ) = ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) ) )
41	11, 4, 8, 22, 24	offval2 6260	. . 3 |- ( ph -> ( F oF T H ) = ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) )
42	11, 36, 39, 40, 41	offval2 6260	. 2 |- ( ph -> ( ( F oF T G ) oF O ( F oF T H ) ) = ( w e. A |-> ( ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) O ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) ) )
43	10, 26, 42	3eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> ( F oF T ( G oF R H ) ) = ( ( F oF T G ) oF O ( F oF T H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   |-> cmpt 4155   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   oFcof 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244

This theorem is referenced by: (None)