Theorem caofdig 6330

Description: Transfer a distributive law to the function operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofdi.1	|- ( ph -> A e. V )
caofdi.2	|- ( ph -> F : A --> K )
caofdi.3	|- ( ph -> G : A --> S )
caofdi.4	|- ( ph -> H : A --> S )
caofdig.r	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x R y ) e. V )
caofdig.t	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. W )
caofdi.5	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x T ( y R z ) ) = ( ( x T y ) O ( x T z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caofdig	|- ( ph -> ( F oF T ( G oF R H ) ) = ( ( F oF T G ) oF O ( F oF T H ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, F, y, z   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, H, y, z   x, K, y, z   x, O, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z   x, T, y, z   x, V, y   x, W, y

Allowed substitution hints:   V( z)   W( z)

Proof of Theorem caofdig

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caofdi.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x T ( y R z ) ) = ( ( x T y ) O ( x T z ) ) )
2	1	adantlr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. A ) /\ ( x e. K /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x T ( y R z ) ) = ( ( x T y ) O ( x T z ) ) )
3		caofdi.2	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> K )
4	3	ffvelcdmda 5837	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( F ` w ) e. K )
5		caofdi.3	. . . . 5 |- ( ph -> G : A --> S )
6	5	ffvelcdmda 5837	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( G ` w ) e. S )
7		caofdi.4	. . . . 5 |- ( ph -> H : A --> S )
8	7	ffvelcdmda 5837	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( H ` w ) e. S )
9	2, 4, 6, 8	caovdid 6259	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( F ` w ) T ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) = ( ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) O ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) )
10	9	mpteq2dva 4219	. 2 |- ( ph -> ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) ) = ( w e. A |-> ( ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) O ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) ) )
11		caofdi.1	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
12		oveq2 6087	. . . . 5 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( G ` w ) R y ) = ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) )
13	12	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( ( G ` w ) R y ) e. V <-> ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) e. V ) )
14		oveq1 6086	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` w ) -> ( x R y ) = ( ( G ` w ) R y ) )
15	14	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` w ) -> ( ( x R y ) e. V <-> ( ( G ` w ) R y ) e. V ) )
16	15	ralbidv 2550	. . . . 5 |- ( x = ( G ` w ) -> ( A. y e. S ( x R y ) e. V <-> A. y e. S ( ( G ` w ) R y ) e. V ) )
17		caofdig.r	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x R y ) e. V )
18	17	ralrimivva 2632	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x R y ) e. V )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. x e. S A. y e. S ( x R y ) e. V )
20	16, 19, 6	rspcdva 2934	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. y e. S ( ( G ` w ) R y ) e. V )
21	13, 20, 8	rspcdva 2934	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) e. V )
22	3	feqmptd 5753	. . 3 |- ( ph -> F = ( w e. A |-> ( F ` w ) ) )
23	5	feqmptd 5753	. . . 4 |- ( ph -> G = ( w e. A |-> ( G ` w ) ) )
24	7	feqmptd 5753	. . . 4 |- ( ph -> H = ( w e. A |-> ( H ` w ) ) )
25	11, 6, 8, 23, 24	offval2 6312	. . 3 |- ( ph -> ( G oF R H ) = ( w e. A |-> ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) )
26	11, 4, 21, 22, 25	offval2 6312	. 2 |- ( ph -> ( F oF T ( G oF R H ) ) = ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) ) )
27		oveq2 6087	. . . . 5 |- ( y = ( G ` w ) -> ( ( F ` w ) T y ) = ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) )
28	27	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( y = ( G ` w ) -> ( ( ( F ` w ) T y ) e. W <-> ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) e. W ) )
29		oveq1 6086	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` w ) -> ( x T y ) = ( ( F ` w ) T y ) )
30	29	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` w ) -> ( ( x T y ) e. W <-> ( ( F ` w ) T y ) e. W ) )
31	30	ralbidv 2550	. . . . 5 |- ( x = ( F ` w ) -> ( A. y e. S ( x T y ) e. W <-> A. y e. S ( ( F ` w ) T y ) e. W ) )
32		caofdig.t	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. W )
33	32	ralrimivva 2632	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. K A. y e. S ( x T y ) e. W )
34	33	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. x e. K A. y e. S ( x T y ) e. W )
35	31, 34, 4	rspcdva 2934	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. y e. S ( ( F ` w ) T y ) e. W )
36	28, 35, 6	rspcdva 2934	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) e. W )
37		oveq2 6087	. . . . 5 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( F ` w ) T y ) = ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) )
38	37	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( ( F ` w ) T y ) e. W <-> ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) e. W ) )
39	38, 35, 8	rspcdva 2934	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) e. W )
40	11, 4, 6, 22, 23	offval2 6312	. . 3 |- ( ph -> ( F oF T G ) = ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) ) )
41	11, 4, 8, 22, 24	offval2 6312	. . 3 |- ( ph -> ( F oF T H ) = ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) )
42	11, 36, 39, 40, 41	offval2 6312	. 2 |- ( ph -> ( ( F oF T G ) oF O ( F oF T H ) ) = ( w e. A |-> ( ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) O ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) ) )
43	10, 26, 42	3eqtr4d 2281	1 |- ( ph -> ( F oF T ( G oF R H ) ) = ( ( F oF T G ) oF O ( F oF T H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   |-> cmpt 4190   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   oFcof 6294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296

This theorem is referenced by: (None)