Theorem caofdig 6164

Description: Transfer a distributive law to the function operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofdi.1	|- ( ph -> A e. V )
caofdi.2	|- ( ph -> F : A --> K )
caofdi.3	|- ( ph -> G : A --> S )
caofdi.4	|- ( ph -> H : A --> S )
caofdig.r	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x R y ) e. V )
caofdig.t	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. W )
caofdi.5	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x T ( y R z ) ) = ( ( x T y ) O ( x T z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caofdig	|- ( ph -> ( F oF T ( G oF R H ) ) = ( ( F oF T G ) oF O ( F oF T H ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, F, y, z   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, H, y, z   x, K, y, z   x, O, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z   x, T, y, z   x, V, y   x, W, y

Allowed substitution hints:   V( z)   W( z)

Proof of Theorem caofdig

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caofdi.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x T ( y R z ) ) = ( ( x T y ) O ( x T z ) ) )
2	1	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. A ) /\ ( x e. K /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x T ( y R z ) ) = ( ( x T y ) O ( x T z ) ) )
3		caofdi.2	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> K )
4	3	ffvelcdmda 5697	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( F ` w ) e. K )
5		caofdi.3	. . . . 5 |- ( ph -> G : A --> S )
6	5	ffvelcdmda 5697	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( G ` w ) e. S )
7		caofdi.4	. . . . 5 |- ( ph -> H : A --> S )
8	7	ffvelcdmda 5697	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( H ` w ) e. S )
9	2, 4, 6, 8	caovdid 6099	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( F ` w ) T ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) = ( ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) O ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) )
10	9	mpteq2dva 4123	. 2 |- ( ph -> ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) ) = ( w e. A |-> ( ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) O ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) ) )
11		caofdi.1	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
12		oveq2 5930	. . . . 5 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( G ` w ) R y ) = ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) )
13	12	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( ( G ` w ) R y ) e. V <-> ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) e. V ) )
14		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` w ) -> ( x R y ) = ( ( G ` w ) R y ) )
15	14	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` w ) -> ( ( x R y ) e. V <-> ( ( G ` w ) R y ) e. V ) )
16	15	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( x = ( G ` w ) -> ( A. y e. S ( x R y ) e. V <-> A. y e. S ( ( G ` w ) R y ) e. V ) )
17		caofdig.r	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x R y ) e. V )
18	17	ralrimivva 2579	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x R y ) e. V )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. x e. S A. y e. S ( x R y ) e. V )
20	16, 19, 6	rspcdva 2873	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. y e. S ( ( G ` w ) R y ) e. V )
21	13, 20, 8	rspcdva 2873	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) e. V )
22	3	feqmptd 5614	. . 3 |- ( ph -> F = ( w e. A |-> ( F ` w ) ) )
23	5	feqmptd 5614	. . . 4 |- ( ph -> G = ( w e. A |-> ( G ` w ) ) )
24	7	feqmptd 5614	. . . 4 |- ( ph -> H = ( w e. A |-> ( H ` w ) ) )
25	11, 6, 8, 23, 24	offval2 6151	. . 3 |- ( ph -> ( G oF R H ) = ( w e. A |-> ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) )
26	11, 4, 21, 22, 25	offval2 6151	. 2 |- ( ph -> ( F oF T ( G oF R H ) ) = ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( ( G ` w ) R ( H ` w ) ) ) ) )
27		oveq2 5930	. . . . 5 |- ( y = ( G ` w ) -> ( ( F ` w ) T y ) = ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) )
28	27	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( y = ( G ` w ) -> ( ( ( F ` w ) T y ) e. W <-> ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) e. W ) )
29		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` w ) -> ( x T y ) = ( ( F ` w ) T y ) )
30	29	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` w ) -> ( ( x T y ) e. W <-> ( ( F ` w ) T y ) e. W ) )
31	30	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( x = ( F ` w ) -> ( A. y e. S ( x T y ) e. W <-> A. y e. S ( ( F ` w ) T y ) e. W ) )
32		caofdig.t	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. W )
33	32	ralrimivva 2579	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. K A. y e. S ( x T y ) e. W )
34	33	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. x e. K A. y e. S ( x T y ) e. W )
35	31, 34, 4	rspcdva 2873	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> A. y e. S ( ( F ` w ) T y ) e. W )
36	28, 35, 6	rspcdva 2873	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) e. W )
37		oveq2 5930	. . . . 5 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( F ` w ) T y ) = ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) )
38	37	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( y = ( H ` w ) -> ( ( ( F ` w ) T y ) e. W <-> ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) e. W ) )
39	38, 35, 8	rspcdva 2873	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) e. W )
40	11, 4, 6, 22, 23	offval2 6151	. . 3 |- ( ph -> ( F oF T G ) = ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) ) )
41	11, 4, 8, 22, 24	offval2 6151	. . 3 |- ( ph -> ( F oF T H ) = ( w e. A |-> ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) )
42	11, 36, 39, 40, 41	offval2 6151	. 2 |- ( ph -> ( ( F oF T G ) oF O ( F oF T H ) ) = ( w e. A |-> ( ( ( F ` w ) T ( G ` w ) ) O ( ( F ` w ) T ( H ` w ) ) ) ) )
43	10, 26, 42	3eqtr4d 2239	1 |- ( ph -> ( F oF T ( G oF R H ) ) = ( ( F oF T G ) oF O ( F oF T H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   |-> cmpt 4094   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   oFcof 6133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135

This theorem is referenced by: (None)