Theorem cc1 7483

Description: Countable choice in terms of a choice function on a countably infinite set of inhabited sets. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cc1	|- (CCHOICE -> A. x ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )

Distinct variable groups:   w, f, z   x, f, z

Proof of Theorem cc1

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> CCHOICE )
2		simprl 531	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> x ~~ om )
3		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> A. z e. x E. w w e. z )
4		elequ2 2207	. . . . . . . . 9 |- ( z = a -> ( w e. z <-> w e. a ) )
5	4	exbidv 1873	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. a ) )
6	5	cbvralvw 2771	. . . . . . 7 |- ( A. z e. x E. w w e. z <-> A. a e. x E. w w e. a )
7	3, 6	sylib 122	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> A. a e. x E. w w e. a )
8	1, 2, 7	ccfunen 7482	. . . . 5 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f ( f Fn x /\ A. a e. x ( f ` a ) e. a ) )
9		exsimpr 1666	. . . . 5 |- ( E. f ( f Fn x /\ A. a e. x ( f ` a ) e. a ) -> E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a )
11		fveq2 5639	. . . . . . 7 |- ( a = z -> ( f ` a ) = ( f ` z ) )
12		id 19	. . . . . . 7 |- ( a = z -> a = z )
13	11, 12	eleq12d 2302	. . . . . 6 |- ( a = z -> ( ( f ` a ) e. a <-> ( f ` z ) e. z ) )
14	13	cbvralvw 2771	. . . . 5 |- ( A. a e. x ( f ` a ) e. a <-> A. z e. x ( f ` z ) e. z )
15	14	exbii 1653	. . . 4 |- ( E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a <-> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z )
16	10, 15	sylib 122	. . 3 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z )
17	16	ex 115	. 2 |- (CCHOICE -> ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )
18	17	alrimiv 1922	1 |- (CCHOICE -> A. x ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1395   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   class class class wbr 4088   omcom 4688   Fn wfn 5321   ` cfv 5326   ~~ cen 6906  CCHOICEwacc 7480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-en 6909  df-cc 7481

This theorem is referenced by: (None)