Theorem cc1 7325

Description: Countable choice in terms of a choice function on a countably infinite set of inhabited sets. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cc1	|- (CCHOICE -> A. x ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )

Distinct variable groups:   w, f, z   x, f, z

Proof of Theorem cc1

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> CCHOICE )
2		simprl 529	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> x ~~ om )
3		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> A. z e. x E. w w e. z )
4		elequ2 2169	. . . . . . . . 9 |- ( z = a -> ( w e. z <-> w e. a ) )
5	4	exbidv 1836	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. a ) )
6	5	cbvralvw 2730	. . . . . . 7 |- ( A. z e. x E. w w e. z <-> A. a e. x E. w w e. a )
7	3, 6	sylib 122	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> A. a e. x E. w w e. a )
8	1, 2, 7	ccfunen 7324	. . . . 5 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f ( f Fn x /\ A. a e. x ( f ` a ) e. a ) )
9		exsimpr 1629	. . . . 5 |- ( E. f ( f Fn x /\ A. a e. x ( f ` a ) e. a ) -> E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a )
11		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( a = z -> ( f ` a ) = ( f ` z ) )
12		id 19	. . . . . . 7 |- ( a = z -> a = z )
13	11, 12	eleq12d 2264	. . . . . 6 |- ( a = z -> ( ( f ` a ) e. a <-> ( f ` z ) e. z ) )
14	13	cbvralvw 2730	. . . . 5 |- ( A. a e. x ( f ` a ) e. a <-> A. z e. x ( f ` z ) e. z )
15	14	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a <-> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z )
16	10, 15	sylib 122	. . 3 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z )
17	16	ex 115	. 2 |- (CCHOICE -> ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )
18	17	alrimiv 1885	1 |- (CCHOICE -> A. x ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   class class class wbr 4029   omcom 4622   Fn wfn 5249   ` cfv 5254   ~~ cen 6792  CCHOICEwacc 7322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-en 6795  df-cc 7323

This theorem is referenced by: (None)