ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cc1 Unicode version

Theorem cc1 7085
Description: Countable choice in terms of a choice function on a countably infinite set of inhabited sets. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
cc1  |-  (CCHOICE  ->  A. x
( ( x  ~~  om 
/\  A. z  e.  x  E. w  w  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  x  ( f `  z
)  e.  z ) )
Distinct variable groups:    w, f, z   
x, f, z

Proof of Theorem cc1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( (CCHOICE  /\  ( x  ~~  om  /\  A. z  e.  x  E. w  w  e.  z
) )  -> CCHOICE )
2 simprl 520 . . . . . 6  |-  ( (CCHOICE  /\  ( x  ~~  om  /\  A. z  e.  x  E. w  w  e.  z
) )  ->  x  ~~  om )
3 simprr 521 . . . . . . 7  |-  ( (CCHOICE  /\  ( x  ~~  om  /\  A. z  e.  x  E. w  w  e.  z
) )  ->  A. z  e.  x  E. w  w  e.  z )
4 elequ2 1691 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  a  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  a ) )
54exbidv 1797 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  a  ->  ( E. w  w  e.  z 
<->  E. w  w  e.  a ) )
65cbvralvw 2658 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  E. w  w  e.  z  <->  A. a  e.  x  E. w  w  e.  a
)
73, 6sylib 121 . . . . . 6  |-  ( (CCHOICE  /\  ( x  ~~  om  /\  A. z  e.  x  E. w  w  e.  z
) )  ->  A. a  e.  x  E. w  w  e.  a )
81, 2, 7ccfunen 7084 . . . . 5  |-  ( (CCHOICE  /\  ( x  ~~  om  /\  A. z  e.  x  E. w  w  e.  z
) )  ->  E. f
( f  Fn  x  /\  A. a  e.  x  ( f `  a
)  e.  a ) )
9 exsimpr 1597 . . . . 5  |-  ( E. f ( f  Fn  x  /\  A. a  e.  x  ( f `  a )  e.  a )  ->  E. f A. a  e.  x  ( f `  a
)  e.  a )
108, 9syl 14 . . . 4  |-  ( (CCHOICE  /\  ( x  ~~  om  /\  A. z  e.  x  E. w  w  e.  z
) )  ->  E. f A. a  e.  x  ( f `  a
)  e.  a )
11 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( a  =  z  ->  (
f `  a )  =  ( f `  z ) )
12 id 19 . . . . . . 7  |-  ( a  =  z  ->  a  =  z )
1311, 12eleq12d 2210 . . . . . 6  |-  ( a  =  z  ->  (
( f `  a
)  e.  a  <->  ( f `  z )  e.  z ) )
1413cbvralvw 2658 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  x  (
f `  a )  e.  a  <->  A. z  e.  x  ( f `  z
)  e.  z )
1514exbii 1584 . . . 4  |-  ( E. f A. a  e.  x  ( f `  a )  e.  a  <->  E. f A. z  e.  x  ( f `  z )  e.  z )
1610, 15sylib 121 . . 3  |-  ( (CCHOICE  /\  ( x  ~~  om  /\  A. z  e.  x  E. w  w  e.  z
) )  ->  E. f A. z  e.  x  ( f `  z
)  e.  z )
1716ex 114 . 2  |-  (CCHOICE  ->  (
( x  ~~  om  /\ 
A. z  e.  x  E. w  w  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  x  ( f `  z
)  e.  z ) )
1817alrimiv 1846 1  |-  (CCHOICE  ->  A. x
( ( x  ~~  om 
/\  A. z  e.  x  E. w  w  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  x  ( f `  z
)  e.  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1329   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3929   omcom 4504    Fn wfn 5118   ` cfv 5123    ~~ cen 6632  CCHOICEwacc 7082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-en 6635  df-cc 7083
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator