Theorem cc1 7377

Description: Countable choice in terms of a choice function on a countably infinite set of inhabited sets. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cc1	|- (CCHOICE -> A. x ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )

Distinct variable groups:   w, f, z   x, f, z

Proof of Theorem cc1

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> CCHOICE )
2		simprl 529	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> x ~~ om )
3		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> A. z e. x E. w w e. z )
4		elequ2 2181	. . . . . . . . 9 |- ( z = a -> ( w e. z <-> w e. a ) )
5	4	exbidv 1848	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. a ) )
6	5	cbvralvw 2742	. . . . . . 7 |- ( A. z e. x E. w w e. z <-> A. a e. x E. w w e. a )
7	3, 6	sylib 122	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> A. a e. x E. w w e. a )
8	1, 2, 7	ccfunen 7376	. . . . 5 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f ( f Fn x /\ A. a e. x ( f ` a ) e. a ) )
9		exsimpr 1641	. . . . 5 |- ( E. f ( f Fn x /\ A. a e. x ( f ` a ) e. a ) -> E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a )
11		fveq2 5576	. . . . . . 7 |- ( a = z -> ( f ` a ) = ( f ` z ) )
12		id 19	. . . . . . 7 |- ( a = z -> a = z )
13	11, 12	eleq12d 2276	. . . . . 6 |- ( a = z -> ( ( f ` a ) e. a <-> ( f ` z ) e. z ) )
14	13	cbvralvw 2742	. . . . 5 |- ( A. a e. x ( f ` a ) e. a <-> A. z e. x ( f ` z ) e. z )
15	14	exbii 1628	. . . 4 |- ( E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a <-> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z )
16	10, 15	sylib 122	. . 3 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z )
17	16	ex 115	. 2 |- (CCHOICE -> ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )
18	17	alrimiv 1897	1 |- (CCHOICE -> A. x ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1371   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   class class class wbr 4044   omcom 4638   Fn wfn 5266   ` cfv 5271   ~~ cen 6825  CCHOICEwacc 7374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-en 6828  df-cc 7375

This theorem is referenced by: (None)