Theorem cc1 7579

Description: Countable choice in terms of a choice function on a countably infinite set of inhabited sets. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cc1	|- (CCHOICE -> A. x ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )

Distinct variable groups:   w, f, z   x, f, z

Proof of Theorem cc1

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> CCHOICE )
2		simprl 531	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> x ~~ om )
3		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> A. z e. x E. w w e. z )
4		elequ2 2208	. . . . . . . . 9 |- ( z = a -> ( w e. z <-> w e. a ) )
5	4	exbidv 1874	. . . . . . . 8 |- ( z = a -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. a ) )
6	5	cbvralvw 2782	. . . . . . 7 |- ( A. z e. x E. w w e. z <-> A. a e. x E. w w e. a )
7	3, 6	sylib 122	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> A. a e. x E. w w e. a )
8	1, 2, 7	ccfunen 7578	. . . . 5 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f ( f Fn x /\ A. a e. x ( f ` a ) e. a ) )
9		exsimpr 1667	. . . . 5 |- ( E. f ( f Fn x /\ A. a e. x ( f ` a ) e. a ) -> E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a )
11		fveq2 5670	. . . . . . 7 |- ( a = z -> ( f ` a ) = ( f ` z ) )
12		id 19	. . . . . . 7 |- ( a = z -> a = z )
13	11, 12	eleq12d 2303	. . . . . 6 |- ( a = z -> ( ( f ` a ) e. a <-> ( f ` z ) e. z ) )
14	13	cbvralvw 2782	. . . . 5 |- ( A. a e. x ( f ` a ) e. a <-> A. z e. x ( f ` z ) e. z )
15	14	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. f A. a e. x ( f ` a ) e. a <-> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z )
16	10, 15	sylib 122	. . 3 |- ( (CCHOICE /\ ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z )
17	16	ex 115	. 2 |- (CCHOICE -> ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )
18	17	alrimiv 1923	1 |- (CCHOICE -> A. x ( ( x ~~ om /\ A. z e. x E. w w e. z ) -> E. f A. z e. x ( f ` z ) e. z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   class class class wbr 4109   omcom 4712   Fn wfn 5347   ` cfv 5352   ~~ cen 6973  CCHOICEwacc 7576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-en 6976  df-cc 7577

This theorem is referenced by: (None)