Theorem cc1 7263

Description: Countable choice in terms of a choice function on a countably infinite set of inhabited sets. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cc1	⊢ (CCHOICE → ∀𝑥((𝑥 ≈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑓,𝑧   𝑥,𝑓,𝑧

Proof of Theorem cc1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((CCHOICE ∧ (𝑥 ≈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)) → CCHOICE)
2		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((CCHOICE ∧ (𝑥 ≈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)) → 𝑥 ≈ ω)
3		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((CCHOICE ∧ (𝑥 ≈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)
4		elequ2 2153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (𝑤 ∈ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ 𝑎))
5	4	exbidv 1825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧 ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑎))
6	5	cbvralvw 2707	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑎)
7	3, 6	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((CCHOICE ∧ (𝑥 ≈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)) → ∀𝑎 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑎)
8	1, 2, 7	ccfunen 7262	. . . . 5 ⊢ ((CCHOICE ∧ (𝑥 ≈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑎) ∈ 𝑎))
9		exsimpr 1618	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑎) ∈ 𝑎) → ∃𝑓∀𝑎 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑎) ∈ 𝑎)
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ ((CCHOICE ∧ (𝑥 ≈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)) → ∃𝑓∀𝑎 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑎) ∈ 𝑎)
11		fveq2 5515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝑓‘𝑎) = (𝑓‘𝑧))
12		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → 𝑎 = 𝑧)
13	11, 12	eleq12d 2248	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑎) ∈ 𝑎 ↔ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
14	13	cbvralvw 2707	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑎) ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)
15	14	exbii 1605	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∀𝑎 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑎) ∈ 𝑎 ↔ ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)
16	10, 15	sylib 122	. . 3 ⊢ ((CCHOICE ∧ (𝑥 ≈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧)) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)
17	16	ex 115	. 2 ⊢ (CCHOICE → ((𝑥 ≈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
18	17	alrimiv 1874	1 ⊢ (CCHOICE → ∀𝑥((𝑥 ≈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑧) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1351  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4003  ωcom 4589   Fn wfn 5211  ‘cfv 5216   ≈ cen 6737  CCHOICEwacc 7260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-en 6740  df-cc 7261

This theorem is referenced by: (None)