Theorem cc2lem 7377

Description: Lemma for cc2 7378. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cc2.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
cc2.a	|- ( ph -> F Fn om )
cc2.m	|- ( ph -> A. x e. om E. w w e. ( F ` x ) )
cc2lem.a	|- A = ( n e. om |-> ( { n } X. ( F ` n ) ) )
cc2lem.g	|- G = ( n e. om |-> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cc2lem	|- ( ph -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   w, A, n   n, F, w   f, F, g, n   x, F, n, w   g, G, n   ph, n, w   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( x, g)   A( x, g)   G( x, w, f)

Proof of Theorem cc2lem

Dummy variables z k a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cc2.cc	. . 3 |- ( ph -> CCHOICE )
2		vex 2774	. . . . . . . 8 |- n e. _V
3	2	snex 4228	. . . . . . 7 |- { n } e. _V
4		cc2.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn om )
5		funfvex 5592	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ n e. dom F ) -> ( F ` n ) e. _V )
6	5	funfni 5375	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn om /\ n e. om ) -> ( F ` n ) e. _V )
7	4, 6	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( F ` n ) e. _V )
8		xpexg 4788	. . . . . . 7 |- ( ( { n } e. _V /\ ( F ` n ) e. _V ) -> ( { n } X. ( F ` n ) ) e. _V )
9	3, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( { n } X. ( F ` n ) ) e. _V )
10		cc2lem.a	. . . . . 6 |- A = ( n e. om |-> ( { n } X. ( F ` n ) ) )
11	9, 10	fmptd 5733	. . . . 5 |- ( ph -> A : om --> _V )
12		sneq 3643	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> { n } = { k } )
13		fveq2 5575	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
14	12, 13	xpeq12d 4699	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( { n } X. ( F ` n ) ) = ( { k } X. ( F ` k ) ) )
15		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> k e. om )
16		vex 2774	. . . . . . . . . . 11 |- k e. _V
17	16	snex 4228	. . . . . . . . . 10 |- { k } e. _V
18	4	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> F Fn om )
19		funfvex 5592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ k e. dom F ) -> ( F ` k ) e. _V )
20	19	funfni 5375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn om /\ k e. om ) -> ( F ` k ) e. _V )
21	18, 15, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> ( F ` k ) e. _V )
22		xpexg 4788	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { k } e. _V /\ ( F ` k ) e. _V ) -> ( { k } X. ( F ` k ) ) e. _V )
23	17, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> ( { k } X. ( F ` k ) ) e. _V )
24	10, 14, 15, 23	fvmptd3 5672	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> ( A ` k ) = ( { k } X. ( F ` k ) ) )
25	24	eqeq2d 2216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> ( ( A ` n ) = ( A ` k ) <-> ( A ` n ) = ( { k } X. ( F ` k ) ) ) )
26		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> n e. om )
27	10	fvmpt2 5662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. om /\ ( { n } X. ( F ` n ) ) e. _V ) -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( F ` n ) ) )
28	26, 9, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( F ` n ) ) )
29	28	adantrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( F ` n ) ) )
30	29	eqeq1d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> ( ( A ` n ) = ( { k } X. ( F ` k ) ) <-> ( { n } X. ( F ` n ) ) = ( { k } X. ( F ` k ) ) ) )
31	2	snm 3752	. . . . . . . . . 10 |- E. w w e. { n }
32		fveq2 5575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) )
33	32	eleq2d 2274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = n -> ( w e. ( F ` x ) <-> w e. ( F ` n ) ) )
34	33	exbidv 1847	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = n -> ( E. w w e. ( F ` x ) <-> E. w w e. ( F ` n ) ) )
35		cc2.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. om E. w w e. ( F ` x ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> A. x e. om E. w w e. ( F ` x ) )
37		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> n e. om )
38	34, 36, 37	rspcdva 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> E. w w e. ( F ` n ) )
39		xp11m 5120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. w w e. { n } /\ E. w w e. ( F ` n ) ) -> ( ( { n } X. ( F ` n ) ) = ( { k } X. ( F ` k ) ) <-> ( { n } = { k } /\ ( F ` n ) = ( F ` k ) ) ) )
40	31, 38, 39	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> ( ( { n } X. ( F ` n ) ) = ( { k } X. ( F ` k ) ) <-> ( { n } = { k } /\ ( F ` n ) = ( F ` k ) ) ) )
41	2	sneqr 3800	. . . . . . . . . 10 |- ( { n } = { k } -> n = k )
42	41	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( { n } = { k } /\ ( F ` n ) = ( F ` k ) ) -> n = k )
43	40, 42	biimtrdi 163	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> ( ( { n } X. ( F ` n ) ) = ( { k } X. ( F ` k ) ) -> n = k ) )
44	30, 43	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> ( ( A ` n ) = ( { k } X. ( F ` k ) ) -> n = k ) )
45	25, 44	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. om /\ k e. om ) ) -> ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k ) )
46	45	ralrimivva 2587	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. om A. k e. om ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k ) )
47		dff13 5836	. . . . 5 |- ( A : om -1-1-> _V <-> ( A : om --> _V /\ A. n e. om A. k e. om ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k ) ) )
48	11, 46, 47	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ph -> A : om -1-1-> _V )
49		f1f1orn 5532	. . . . 5 |- ( A : om -1-1-> _V -> A : om -1-1-onto-> ran A )
50		omex 4640	. . . . . 6 |- om e. _V
51	50	f1oen 6849	. . . . 5 |- ( A : om -1-1-onto-> ran A -> om ~~ ran A )
52		ensym 6872	. . . . 5 |- ( om ~~ ran A -> ran A ~~ om )
53	49, 51, 52	3syl 17	. . . 4 |- ( A : om -1-1-> _V -> ran A ~~ om )
54	48, 53	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ran A ~~ om )
55	9	ralrimiva 2578	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om ( { n } X. ( F ` n ) ) e. _V )
56	10	fnmpt 5401	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om ( { n } X. ( F ` n ) ) e. _V -> A Fn om )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A Fn om )
58	57	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ran A ) -> A Fn om )
59		fnfun 5370	. . . . . . 7 |- ( A Fn om -> Fun A )
60	58, 59	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ran A ) -> Fun A )
61		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ran A ) -> z e. ran A )
62		elrnrexdm 5718	. . . . . 6 |- ( Fun A -> ( z e. ran A -> E. n e. dom A z = ( A ` n ) ) )
63	60, 61, 62	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ran A ) -> E. n e. dom A z = ( A ` n ) )
64		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ran A ) /\ ( n e. dom A /\ z = ( A ` n ) ) ) -> ph )
65		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ran A ) /\ ( n e. dom A /\ z = ( A ` n ) ) ) -> n e. dom A )
66		fndm 5372	. . . . . . . . 9 |- ( A Fn om -> dom A = om )
67	64, 57, 66	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ran A ) /\ ( n e. dom A /\ z = ( A ` n ) ) ) -> dom A = om )
68	65, 67	eleqtrd 2283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ran A ) /\ ( n e. dom A /\ z = ( A ` n ) ) ) -> n e. om )
69	35	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> A. x e. om E. w w e. ( F ` x ) )
70	34, 69, 26	rspcdva 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> E. w w e. ( F ` n ) )
71		eleq1 2267	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = a -> ( w e. ( F ` n ) <-> a e. ( F ` n ) ) )
72	71	cbvexv 1941	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w w e. ( F ` n ) <-> E. a a e. ( F ` n ) )
73	70, 72	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> E. a a e. ( F ` n ) )
74		vsnid 3664	. . . . . . . . . . 11 |- n e. { n }
75		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ a e. ( F ` n ) ) -> a e. ( F ` n ) )
76		opelxpi 4706	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. { n } /\ a e. ( F ` n ) ) -> <. n , a >. e. ( { n } X. ( F ` n ) ) )
77	74, 75, 76	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ a e. ( F ` n ) ) -> <. n , a >. e. ( { n } X. ( F ` n ) ) )
78		eleq1 2267	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. n , a >. -> ( w e. ( { n } X. ( F ` n ) ) <-> <. n , a >. e. ( { n } X. ( F ` n ) ) ) )
79	78	spcegv 2860	. . . . . . . . . 10 |- ( <. n , a >. e. ( { n } X. ( F ` n ) ) -> ( <. n , a >. e. ( { n } X. ( F ` n ) ) -> E. w w e. ( { n } X. ( F ` n ) ) ) )
80	77, 77, 79	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. om ) /\ a e. ( F ` n ) ) -> E. w w e. ( { n } X. ( F ` n ) ) )
81	73, 80	exlimddv 1921	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> E. w w e. ( { n } X. ( F ` n ) ) )
82	28	eleq2d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( w e. ( A ` n ) <-> w e. ( { n } X. ( F ` n ) ) ) )
83	82	exbidv 1847	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( E. w w e. ( A ` n ) <-> E. w w e. ( { n } X. ( F ` n ) ) ) )
84	81, 83	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> E. w w e. ( A ` n ) )
85	64, 68, 84	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ran A ) /\ ( n e. dom A /\ z = ( A ` n ) ) ) -> E. w w e. ( A ` n ) )
86		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ran A ) /\ ( n e. dom A /\ z = ( A ` n ) ) ) -> z = ( A ` n ) )
87	86	eleq2d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. ran A ) /\ ( n e. dom A /\ z = ( A ` n ) ) ) -> ( w e. z <-> w e. ( A ` n ) ) )
88	87	exbidv 1847	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. ran A ) /\ ( n e. dom A /\ z = ( A ` n ) ) ) -> ( E. w w e. z <-> E. w w e. ( A ` n ) ) )
89	85, 88	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. ran A ) /\ ( n e. dom A /\ z = ( A ` n ) ) ) -> E. w w e. z )
90	63, 89	rexlimddv 2627	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ran A ) -> E. w w e. z )
91	90	ralrimiva 2578	. . 3 |- ( ph -> A. z e. ran A E. w w e. z )
92	1, 54, 91	ccfunen 7375	. 2 |- ( ph -> E. f ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) )
93		vex 2774	. . . . . . . 8 |- f e. _V
94		funfvex 5592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun A /\ n e. dom A ) -> ( A ` n ) e. _V )
95	94	funfni 5375	. . . . . . . . 9 |- ( ( A Fn om /\ n e. om ) -> ( A ` n ) e. _V )
96	57, 95	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( A ` n ) e. _V )
97		fvexg 5594	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. _V /\ ( A ` n ) e. _V ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. _V )
98	93, 96, 97	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. _V )
99		2ndexg 6253	. . . . . . 7 |- ( ( f ` ( A ` n ) ) e. _V -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V )
100	98, 99	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V )
101	100	ralrimiva 2578	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. om ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V )
102		cc2lem.g	. . . . . 6 |- G = ( n e. om |-> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
103	102	fnmpt 5401	. . . . 5 |- ( A. n e. om ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V -> G Fn om )
104	101, 103	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G Fn om )
105	104	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) -> G Fn om )
106		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) /\ n e. om ) -> n e. om )
107		fveq2 5575	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( A ` n ) -> ( f ` z ) = ( f ` ( A ` n ) ) )
108		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( A ` n ) -> z = ( A ` n ) )
109	107, 108	eleq12d 2275	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( A ` n ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) )
110		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) /\ n e. om ) -> A. z e. ran A ( f ` z ) e. z )
111		fnfvelrn 5711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A Fn om /\ n e. om ) -> ( A ` n ) e. ran A )
112	57, 111	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( A ` n ) e. ran A )
113	112	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) /\ n e. om ) -> ( A ` n ) e. ran A )
114	109, 110, 113	rspcdva 2881	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) /\ n e. om ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) )
115	28	eleq2d 2274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( F ` n ) ) ) )
116	115	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) /\ n e. om ) -> ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( F ` n ) ) ) )
117	114, 116	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) /\ n e. om ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( F ` n ) ) )
118		xp2nd 6251	. . . . . . 7 |- ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( F ` n ) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( F ` n ) )
119	117, 118	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) /\ n e. om ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( F ` n ) )
120	102	fvmpt2 5662	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( F ` n ) ) -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
121	106, 119, 120	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) /\ n e. om ) -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
122	121, 119	eqeltrd 2281	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) /\ n e. om ) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) )
123	122	ralrimiva 2578	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) -> A. n e. om ( G ` n ) e. ( F ` n ) )
124	50	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> om e. _V )
125		fnex 5805	. . . . . 6 |- ( ( G Fn om /\ om e. _V ) -> G e. _V )
126	104, 124, 125	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> G e. _V )
127		fneq1 5361	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( g Fn om <-> G Fn om ) )
128		fveq1 5574	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( g ` n ) = ( G ` n ) )
129	128	eleq1d 2273	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( g ` n ) e. ( F ` n ) <-> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
130	129	ralbidv 2505	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( A. n e. om ( g ` n ) e. ( F ` n ) <-> A. n e. om ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
131	127, 130	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( g Fn om /\ A. n e. om ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) <-> ( G Fn om /\ A. n e. om ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
132	131	spcegv 2860	. . . . 5 |- ( G e. _V -> ( ( G Fn om /\ A. n e. om ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
133	126, 132	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G Fn om /\ A. n e. om ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
134	133	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( G Fn om /\ A. n e. om ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
135	105, 123, 134	mp2and 433	. 2 |- ( ( ph /\ ( f Fn ran A /\ A. z e. ran A ( f ` z ) e. z ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) )
136	92, 135	exlimddv 1921	1 |- ( ph -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   _Vcvv 2771   {csn 3632   <.cop 3635   class class class wbr 4043   |-> cmpt 4104   omcom 4637   X. cxp 4672   dom cdm 4674   ran crn 4675   Fun wfun 5264   Fn wfn 5265   -->wf 5266   -1-1->wf1 5267   -1-1-onto->wf1o 5269   ` cfv 5270   2ndc2nd 6224   ~~ cen 6824  CCHOICEwacc 7373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-2nd 6226  df-er 6619  df-en 6827  df-cc 7374

This theorem is referenced by:  cc2  7378