Theorem cldrcl 15203

Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cldrcl	⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cldrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncld 15199	. . . 4 ⊢ Clsd Fn Top
2		fnrel 5479	. . . 4 ⊢ (Clsd Fn Top → Rel Clsd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel Clsd
4		relelfvdm 5727	. . 3 ⊢ ((Rel Clsd ∧ 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐽 ∈ dom Clsd)
5	3, 4	mpan 428	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ dom Clsd)
6		fndm 5480	. . 3 ⊢ (Clsd Fn Top → dom Clsd = Top)
7	1, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ dom Clsd = Top
8	5, 7	eleqtrdi 2331	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  dom cdm 4774  Rel wrel 4779   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  Topctop 15098  Clsdccld 15193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-cld 15196

This theorem is used by:  cldss  15206  cldopn  15208  difopn  15209  uncld  15214  cldcls  15215  clsss2  15230