Theorem cldrcl 14913

Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cldrcl	⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cldrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncld 14909	. . . 4 ⊢ Clsd Fn Top
2		fnrel 5435	. . . 4 ⊢ (Clsd Fn Top → Rel Clsd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel Clsd
4		relelfvdm 5680	. . 3 ⊢ ((Rel Clsd ∧ 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐽 ∈ dom Clsd)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ dom Clsd)
6		fndm 5436	. . 3 ⊢ (Clsd Fn Top → dom Clsd = Top)
7	1, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ dom Clsd = Top
8	5, 7	eleqtrdi 2324	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  dom cdm 4731  Rel wrel 4736   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  Topctop 14808  Clsdccld 14903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-cld 14906

This theorem is referenced by:  cldss  14916  cldopn  14918  difopn  14919  uncld  14924  cldcls  14925  clsss2  14940