Theorem cldrcl 14689

Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cldrcl	⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cldrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncld 14685	. . . 4 ⊢ Clsd Fn Top
2		fnrel 5391	. . . 4 ⊢ (Clsd Fn Top → Rel Clsd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel Clsd
4		relelfvdm 5631	. . 3 ⊢ ((Rel Clsd ∧ 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐽 ∈ dom Clsd)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ dom Clsd)
6		fndm 5392	. . 3 ⊢ (Clsd Fn Top → dom Clsd = Top)
7	1, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ dom Clsd = Top
8	5, 7	eleqtrdi 2300	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  dom cdm 4693  Rel wrel 4698   Fn wfn 5285  ‘cfv 5290  Topctop 14584  Clsdccld 14679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-cld 14682

This theorem is referenced by:  cldss  14692  cldopn  14694  difopn  14695  uncld  14700  cldcls  14701  clsss2  14716