Theorem cldrcl 14281

Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cldrcl	⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cldrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncld 14277	. . . 4 ⊢ Clsd Fn Top
2		fnrel 5353	. . . 4 ⊢ (Clsd Fn Top → Rel Clsd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel Clsd
4		relelfvdm 5587	. . 3 ⊢ ((Rel Clsd ∧ 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐽 ∈ dom Clsd)
5	3, 4	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ dom Clsd)
6		fndm 5354	. . 3 ⊢ (Clsd Fn Top → dom Clsd = Top)
7	1, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ dom Clsd = Top
8	5, 7	eleqtrdi 2286	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  dom cdm 4660  Rel wrel 4665   Fn wfn 5250  ‘cfv 5255  Topctop 14176  Clsdccld 14271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-cld 14274

This theorem is referenced by:  cldss  14284  cldopn  14286  difopn  14287  uncld  14292  cldcls  14293  clsss2  14308