ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncfrss GIF version

Theorem cncfrss 12745
Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfrss (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem cncfrss
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cncf 12741 . . 3 cn→ = (𝑎 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑏 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∈ (𝑏𝑚 𝑎) ∣ ∀𝑥𝑎𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑎 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)})
21elmpocl1 5969 . 2 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 ℂ)
32elpwid 3521 1 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  {crab 2420  wss 3071  𝒫 cpw 3510   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  𝑚 cmap 6542  cc 7630   < clt 7812  cmin 7945  +crp 9453  abscabs 10781  cnccncf 12740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-cncf 12741
This theorem is referenced by:  cncff  12747  cncfi  12748  rescncf  12751  cncffvrn  12752  cncfco  12761  cncfmpt2fcntop  12768  mulcncflem  12773  mulcncf  12774  cnlimci  12825
  Copyright terms: Public domain W3C validator