Theorem elcncf2 13320

Description: Version of elcncf 13319 with arguments commuted. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elcncf2	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, A   w, F, x, y, z   w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcncf 13319	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
2		simplll 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> A C_ CC )
3		simprl 526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. A )
4	2, 3	sseldd 3148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. CC )
5		simprr 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. A )
6	2, 5	sseldd 3148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. CC )
7	4, 6	abssubd 11150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( abs ` ( x - w ) ) = ( abs ` ( w - x ) ) )
8	7	breq1d 3997	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z <-> ( abs ` ( w - x ) ) < z ) )
9		simpllr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> B C_ CC )
10		simplr 525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> F : A --> B )
11	10, 3	ffvelrnd 5630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` x ) e. B )
12	9, 11	sseldd 3148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
13	10, 5	ffvelrnd 5630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` w ) e. B )
14	9, 13	sseldd 3148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` w ) e. CC )
15	12, 14	abssubd 11150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) )
16	15	breq1d 3997	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
17	8, 16	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
18	17	anassrs 398	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ w e. A ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
19	18	ralbidva 2466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
20	19	rexbidv 2471	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
21	20	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
22	21	ralbidva 2466	. . 3 |- ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
23	22	pm5.32da 449	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
24	1, 23	bitrd 187	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3987   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   CCcc 7765   < clt 7947   - cmin 8083   RR+crp 9603   abscabs 10954   -cn->ccncf 13316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-map 6626  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-2 8930  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-cncf 13317

This theorem is referenced by:  cncfi  13324  cncffvrn  13328  abscncf  13331  recncf  13332  imcncf  13333  cjcncf  13334  mulc1cncf  13335  cncfco  13337  cdivcncfap  13346  mulcncf  13350