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Theorem elcncf2 15046
Description: Version of elcncf 15045 with arguments commuted. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
elcncf2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, w, y, z, A   w, F, x, y, z   w, B, x, y, z
Proof of Theorem elcncf2
StepHypRef Expression
1 elcncf 15045 . 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
2 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> A C_ CC )
3 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. A )
42, 3sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. CC )
5 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. A )
62, 5sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. CC )
74, 6abssubd 11504 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( abs ` ( x - w ) ) = ( abs ` ( w - x ) ) )
87breq1d 4054 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z <-> ( abs ` ( w - x ) ) < z ) )
9 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> B C_ CC )
10 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> F : A --> B )
1110, 3ffvelcdmd 5716 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` x ) e. B )
129, 11sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
1310, 5ffvelcdmd 5716 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` w ) e. B )
149, 13sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` w ) e. CC )
1512, 14abssubd 11504 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) )
1615breq1d 4054 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
178, 16imbi12d 234 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
1817anassrs 400 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ w e. A ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
1918ralbidva 2502 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
2019rexbidv 2507 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
2120ralbidv 2506 . . . 4 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
2221ralbidva 2502 . . 3 |- ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
2322pm5.32da 452 . 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
241, 23bitrd 188 1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   < clt 8107   - cmin 8243   RR+crp 9775   abscabs 11308   -cn->ccncf 15042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-map 6737  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-2 9095  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-cncf 15043
This theorem is referenced by:  cncfi  15050  cncfcdm  15054  abscncf  15057  recncf  15058  imcncf  15059  cjcncf  15060  mulc1cncf  15061  cncfco  15063  cdivcncfap  15076  mulcncf  15080
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