Theorem elcncf2 15248

Description: Version of elcncf 15247 with arguments commuted. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elcncf2	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, A   w, F, x, y, z   w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcncf 15247	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
2		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> A C_ CC )
3		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. A )
4	2, 3	sseldd 3225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. CC )
5		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. A )
6	2, 5	sseldd 3225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. CC )
7	4, 6	abssubd 11704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( abs ` ( x - w ) ) = ( abs ` ( w - x ) ) )
8	7	breq1d 4093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z <-> ( abs ` ( w - x ) ) < z ) )
9		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> B C_ CC )
10		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> F : A --> B )
11	10, 3	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` x ) e. B )
12	9, 11	sseldd 3225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
13	10, 5	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` w ) e. B )
14	9, 13	sseldd 3225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` w ) e. CC )
15	12, 14	abssubd 11704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) )
16	15	breq1d 4093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
17	8, 16	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
18	17	anassrs 400	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ w e. A ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
19	18	ralbidva 2526	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
20	19	rexbidv 2531	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
21	20	ralbidv 2530	. . . 4 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
22	21	ralbidva 2526	. . 3 |- ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
23	22	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
24	1, 23	bitrd 188	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   < clt 8181   - cmin 8317   RR+crp 9849   abscabs 11508   -cn->ccncf 15244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-map 6797  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-2 9169  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-cncf 15245

This theorem is referenced by:  cncfi  15252  cncfcdm  15256  abscncf  15259  recncf  15260  imcncf  15261  cjcncf  15262  mulc1cncf  15263  cncfco  15265  cdivcncfap  15278  mulcncf  15282