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Theorem elcncf2 11934
Description: Version of elcncf 11933 with arguments commuted. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
elcncf2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, F, x, y, z    w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf2
StepHypRef Expression
1 elcncf 11933 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
2 simplll 501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  A  C_  CC )
3 simprl 499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
42, 3sseldd 3029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  CC )
5 simprr 500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  A )
62, 5sseldd 3029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  CC )
74, 6abssubd 10689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( x  -  w
) )  =  ( abs `  ( w  -  x ) ) )
87breq1d 3863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z ) )
9 simpllr 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  B  C_  CC )
10 simplr 498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  F : A
--> B )
1110, 3ffvelrnd 5451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  B
)
129, 11sseldd 3029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1310, 5ffvelrnd 5451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  w )  e.  B
)
149, 13sseldd 3029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( F `  w )  e.  CC )
1512, 14abssubd 10689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) ) )
1615breq1d 3863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( F `  w ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) )  <  y ) )
178, 16imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
1817anassrs 393 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A
--> B )  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
1918ralbidva 2377 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2019rexbidv 2382 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
)  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2120ralbidv 2381 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2221ralbidva 2377 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  F : A --> B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) )
2322pm5.32da 441 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) )  <->  ( F : A
--> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
241, 23bitrd 187 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1439   A.wral 2360   E.wrex 2361    C_ wss 3002   class class class wbr 3853   -->wf 5026   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411    < clt 7585    - cmin 7716   RR+crp 9197   abscabs 10493   -cn->ccncf 11930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-map 6423  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-2 8544  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-cncf 11931
This theorem is referenced by:  cncfi  11938  cncffvrn  11942  abscncf  11945  recncf  11946  imcncf  11947  cjcncf  11948  mulc1cncf  11949  cncfco  11951
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