Theorem elcncf2 15565

Description: Version of elcncf 15564 with arguments commuted. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elcncf2	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, A   w, F, x, y, z   w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcncf 15564	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
2		simplll 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> A C_ CC )
3		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. A )
4	2, 3	sseldd 3243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> x e. CC )
5		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. A )
6	2, 5	sseldd 3243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> w e. CC )
7	4, 6	abssubd 11903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( abs ` ( x - w ) ) = ( abs ` ( w - x ) ) )
8	7	breq1d 4124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z <-> ( abs ` ( w - x ) ) < z ) )
9		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> B C_ CC )
10		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> F : A --> B )
11	10, 3	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` x ) e. B )
12	9, 11	sseldd 3243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
13	10, 5	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` w ) e. B )
14	9, 13	sseldd 3243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` w ) e. CC )
15	12, 14	abssubd 11903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) )
16	15	breq1d 4124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
17	8, 16	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
18	17	anassrs 400	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) /\ w e. A ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
19	18	ralbidva 2540	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
20	19	rexbidv 2545	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
21	20	ralbidv 2544	. . . 4 |- ( ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
22	21	ralbidva 2540	. . 3 |- ( ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) /\ F : A --> B ) -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) )
23	22	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
24	1, 23	bitrd 188	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   < clt 8324   - cmin 8460   RR+crp 10004   abscabs 11707   -cn->ccncf 15561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-2 9313  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-cncf 15562

This theorem is referenced by:  cncfi  15569  cncfcdm  15573  abscncf  15576  recncf  15577  imcncf  15578  cjcncf  15579  mulc1cncf  15580  cncfco  15582  cdivcncfap  15595  mulcncf  15599