Theorem cncfcdm 14000

Description: Change the codomain of a continuous complex function. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncfcdm	|- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> F : A --> C ) )

Proof of Theorem cncfcdm

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 13993	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A C_ CC )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ CC )
4		elcncf2 13992	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ C C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> ( F : A --> C /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> ( F : A --> C /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
6		cncfi 13996	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ x e. A /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
7	6	3expb 1204	. . . . 5 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
8	7	ralrimivva 2559	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
10	9	biantrud 304	. 2 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F : A --> C <-> ( F : A --> C /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
11	5, 10	bitr4d 191	1 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> F : A --> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   class class class wbr 4003   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   < clt 7990   - cmin 8126   RR+crp 9651   abscabs 11001   -cn->ccncf 13988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-map 6649  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-2 8976  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-cncf 13989

This theorem is referenced by:  cncfss  14001