Theorem cncfcdm 15393

Description: Change the codomain of a continuous complex function. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncfcdm	|- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> F : A --> C ) )

Proof of Theorem cncfcdm

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 15386	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A C_ CC )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ CC )
4		elcncf2 15385	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ C C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> ( F : A --> C /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> ( F : A --> C /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
6		cncfi 15389	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ x e. A /\ y e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
7	6	3expb 1231	. . . . 5 |- ( ( F e. ( A -cn-> B ) /\ ( x e. A /\ y e. RR+ ) ) -> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
8	7	ralrimivva 2615	. . . 4 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) )
10	9	biantrud 304	. 2 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F : A --> C <-> ( F : A --> C /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( w - x ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` w ) - ( F ` x ) ) ) < y ) ) ) )
11	5, 10	bitr4d 191	1 |- ( ( C C_ CC /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> C ) <-> F : A --> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   < clt 8273   - cmin 8409   RR+crp 9949   abscabs 11637   -cn->ccncf 15381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-map 6862  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-2 9261  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-cncf 15382

This theorem is referenced by:  cncfss  15394  maxcncf  15426  mincncf  15427  ivthreinc  15456  hovercncf  15457