Theorem mulcncf 15599

Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncf.1	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
mulcncf.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
mulcncf	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, X   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem mulcncf

Dummy variables a b d e f g s t u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncf.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 15568	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
5	4	fmpt 5832	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
6	3, 5	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
7	6	r19.21bi 2632	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
8		mulcncf.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
9		cncff 15568	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
11		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
12	11	fmpt 5832	. . . . . 6 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
13	10, 12	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. CC )
14	13	r19.21bi 2632	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
15	7, 14	mulcld 8310	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A x. B ) e. CC )
16	15	fmpttd 5837	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC )
17		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
18		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> v e. X )
19	6	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> A. x e. X A e. CC )
20		rspcsbela 3201	. . . . . . 7 |- ( ( v e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ v / x ]_ A e. CC )
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> [_ v / x ]_ A e. CC )
22	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> A. x e. X B e. CC )
23		rspcsbela 3201	. . . . . . 7 |- ( ( v e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ v / x ]_ B e. CC )
24	18, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> [_ v / x ]_ B e. CC )
25		mulcn2 12022	. . . . . 6 |- ( ( e e. RR+ /\ [_ v / x ]_ A e. CC /\ [_ v / x ]_ B e. CC ) -> E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
26	17, 21, 24, 25	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
27	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. X ) -> v e. X )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> v e. X )
30		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> f e. RR+ )
31		cncfi 15569	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) /\ v e. X /\ f e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
32	27, 29, 30, 31	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
33	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
34		simprr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> g e. RR+ )
35		cncfi 15569	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) /\ v e. X /\ g e. RR+ ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
36	33, 29, 34, 35	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
38	27	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
39	33	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
40	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> v e. X )
41		simp-5r 546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> e e. RR+ )
42	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> f e. RR+ )
43	34	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> g e. RR+ )
44		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> s e. RR+ )
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> s e. RR+ )
46		simplrl 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> t e. RR+ )
47		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
49		simplrr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
50		nfv 1577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) )
51		nfv 1577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ u s e. RR+
52		nfra1 2575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ u A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f )
53	51, 52	nfan 1614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
54	50, 53	nfan 1614	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ u ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) )
55		nfv 1577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u t e. RR+
56		nfra1 2575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g )
57	55, 56	nfan 1614	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ u ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
58	54, 57	nfan 1614	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ u ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) )
59		nfv 1577	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ u A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e )
60	58, 59	nfan 1614	. . . . . . . . . . 11 |- F/ u ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> u e. X )
62	19	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. x e. X A e. CC )
63		rspcsbela 3201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ u / x ]_ A e. CC )
64	61, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> [_ u / x ]_ A e. CC )
65	22	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. x e. X B e. CC )
66		rspcsbela 3201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ u / x ]_ B e. CC )
67	61, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> [_ u / x ]_ B e. CC )
68		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
69		fvoveq1 6081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) = ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) )
70	69	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f <-> ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f ) )
71	70	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) <-> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) ) )
72		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( a x. b ) = ( [_ u / x ]_ A x. b ) )
73	72	fvoveq1d 6080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) )
74	73	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
75	71, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
76		fvoveq1 6081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) = ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) )
77	76	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g <-> ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) )
78	77	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) <-> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) ) )
79		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( [_ u / x ]_ A x. b ) = ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) )
80	79	fvoveq1d 6080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) )
81	80	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
82	78, 81	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
83	75, 82	rspc2va 2938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( [_ u / x ]_ A e. CC /\ [_ u / x ]_ B e. CC ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
84	64, 67, 68, 83	syl21anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
85	84	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( u e. X -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
86	60, 85	ralrimi 2615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
87	38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 86	mulcncflem 15598	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
88	87	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
89	37, 88	rexlimddv 2667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
90	32, 89	rexlimddv 2667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
91	90	rexlimdvva 2670	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
92	26, 91	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
93	92	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( ( ph /\ v e. X ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
94	93	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ph -> A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
95		cncfrss 15566	. . . 4 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> X C_ CC )
96	1, 95	syl 14	. . 3 |- ( ph -> X C_ CC )
97		ssidd 3263	. . 3 |- ( ph -> CC C_ CC )
98		elcncf2 15565	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) <-> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC /\ A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) ) )
99	96, 97, 98	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) <-> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC /\ A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) ) )
100	16, 94, 99	mpbir2and 953	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   [_csb 3141   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   x. cmul 8148   < clt 8324   - cmin 8460   RR+crp 10004   abscabs 11707   -cn->ccncf 15561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-cncf 15562

This theorem is referenced by:  expcncf  15600  divcncfap  15605