Theorem mulcncf 13758

Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncf.1	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
mulcncf.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
mulcncf	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, X   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem mulcncf

Dummy variables a b d e f g s t u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncf.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 13731	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
5	4	fmpt 5662	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
6	3, 5	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
7	6	r19.21bi 2565	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
8		mulcncf.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
9		cncff 13731	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
11		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
12	11	fmpt 5662	. . . . . 6 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
13	10, 12	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. CC )
14	13	r19.21bi 2565	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
15	7, 14	mulcld 7968	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A x. B ) e. CC )
16	15	fmpttd 5667	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC )
17		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
18		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> v e. X )
19	6	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> A. x e. X A e. CC )
20		rspcsbela 3116	. . . . . . 7 |- ( ( v e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ v / x ]_ A e. CC )
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> [_ v / x ]_ A e. CC )
22	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> A. x e. X B e. CC )
23		rspcsbela 3116	. . . . . . 7 |- ( ( v e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ v / x ]_ B e. CC )
24	18, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> [_ v / x ]_ B e. CC )
25		mulcn2 11304	. . . . . 6 |- ( ( e e. RR+ /\ [_ v / x ]_ A e. CC /\ [_ v / x ]_ B e. CC ) -> E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
26	17, 21, 24, 25	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
27	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. X ) -> v e. X )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> v e. X )
30		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> f e. RR+ )
31		cncfi 13732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) /\ v e. X /\ f e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
32	27, 29, 30, 31	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
33	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
34		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> g e. RR+ )
35		cncfi 13732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) /\ v e. X /\ g e. RR+ ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
36	33, 29, 34, 35	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
38	27	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
39	33	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
40	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> v e. X )
41		simp-5r 544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> e e. RR+ )
42	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> f e. RR+ )
43	34	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> g e. RR+ )
44		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> s e. RR+ )
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> s e. RR+ )
46		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> t e. RR+ )
47		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
49		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
50		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) )
51		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ u s e. RR+
52		nfra1 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ u A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f )
53	51, 52	nfan 1565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
54	50, 53	nfan 1565	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ u ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) )
55		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u t e. RR+
56		nfra1 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g )
57	55, 56	nfan 1565	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ u ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
58	54, 57	nfan 1565	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ u ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) )
59		nfv 1528	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ u A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e )
60	58, 59	nfan 1565	. . . . . . . . . . 11 |- F/ u ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> u e. X )
62	19	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. x e. X A e. CC )
63		rspcsbela 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ u / x ]_ A e. CC )
64	61, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> [_ u / x ]_ A e. CC )
65	22	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. x e. X B e. CC )
66		rspcsbela 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ u / x ]_ B e. CC )
67	61, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> [_ u / x ]_ B e. CC )
68		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
69		fvoveq1 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) = ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) )
70	69	breq1d 4010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f <-> ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f ) )
71	70	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) <-> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) ) )
72		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( a x. b ) = ( [_ u / x ]_ A x. b ) )
73	72	fvoveq1d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) )
74	73	breq1d 4010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
75	71, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
76		fvoveq1 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) = ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) )
77	76	breq1d 4010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g <-> ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) )
78	77	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) <-> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) ) )
79		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( [_ u / x ]_ A x. b ) = ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) )
80	79	fvoveq1d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) )
81	80	breq1d 4010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
82	78, 81	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
83	75, 82	rspc2va 2855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( [_ u / x ]_ A e. CC /\ [_ u / x ]_ B e. CC ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
84	64, 67, 68, 83	syl21anc 1237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
85	84	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( u e. X -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
86	60, 85	ralrimi 2548	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
87	38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 86	mulcncflem 13757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
88	87	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
89	37, 88	rexlimddv 2599	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
90	32, 89	rexlimddv 2599	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
91	90	rexlimdvva 2602	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
92	26, 91	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
93	92	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ( ph /\ v e. X ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
94	93	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ph -> A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
95		cncfrss 13729	. . . 4 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> X C_ CC )
96	1, 95	syl 14	. . 3 |- ( ph -> X C_ CC )
97		ssidd 3176	. . 3 |- ( ph -> CC C_ CC )
98		elcncf2 13728	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) <-> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC /\ A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) ) )
99	96, 97, 98	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) <-> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC /\ A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) ) )
100	16, 94, 99	mpbir2and 944	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   [_csb 3057   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   x. cmul 7807   < clt 7982   - cmin 8118   RR+crp 9640   abscabs 10990   -cn->ccncf 13724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-cncf 13725

This theorem is referenced by:  expcncf  13759