Theorem mulcncf 15322

Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncf.1	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
mulcncf.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
mulcncf	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, X   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem mulcncf

Dummy variables a b d e f g s t u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncf.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 15291	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
5	4	fmpt 5793	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
6	3, 5	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
7	6	r19.21bi 2618	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
8		mulcncf.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
9		cncff 15291	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
11		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
12	11	fmpt 5793	. . . . . 6 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
13	10, 12	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. CC )
14	13	r19.21bi 2618	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
15	7, 14	mulcld 8190	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A x. B ) e. CC )
16	15	fmpttd 5798	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC )
17		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
18		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> v e. X )
19	6	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> A. x e. X A e. CC )
20		rspcsbela 3185	. . . . . . 7 |- ( ( v e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ v / x ]_ A e. CC )
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> [_ v / x ]_ A e. CC )
22	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> A. x e. X B e. CC )
23		rspcsbela 3185	. . . . . . 7 |- ( ( v e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ v / x ]_ B e. CC )
24	18, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> [_ v / x ]_ B e. CC )
25		mulcn2 11863	. . . . . 6 |- ( ( e e. RR+ /\ [_ v / x ]_ A e. CC /\ [_ v / x ]_ B e. CC ) -> E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
26	17, 21, 24, 25	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
27	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. X ) -> v e. X )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> v e. X )
30		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> f e. RR+ )
31		cncfi 15292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) /\ v e. X /\ f e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
32	27, 29, 30, 31	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
33	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
34		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> g e. RR+ )
35		cncfi 15292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) /\ v e. X /\ g e. RR+ ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
36	33, 29, 34, 35	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
38	27	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
39	33	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
40	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> v e. X )
41		simp-5r 544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> e e. RR+ )
42	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> f e. RR+ )
43	34	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> g e. RR+ )
44		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> s e. RR+ )
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> s e. RR+ )
46		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> t e. RR+ )
47		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
49		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
50		nfv 1574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) )
51		nfv 1574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ u s e. RR+
52		nfra1 2561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ u A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f )
53	51, 52	nfan 1611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
54	50, 53	nfan 1611	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ u ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) )
55		nfv 1574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u t e. RR+
56		nfra1 2561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g )
57	55, 56	nfan 1611	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ u ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
58	54, 57	nfan 1611	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ u ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) )
59		nfv 1574	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ u A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e )
60	58, 59	nfan 1611	. . . . . . . . . . 11 |- F/ u ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> u e. X )
62	19	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. x e. X A e. CC )
63		rspcsbela 3185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ u / x ]_ A e. CC )
64	61, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> [_ u / x ]_ A e. CC )
65	22	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. x e. X B e. CC )
66		rspcsbela 3185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ u / x ]_ B e. CC )
67	61, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> [_ u / x ]_ B e. CC )
68		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
69		fvoveq1 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) = ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) )
70	69	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f <-> ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f ) )
71	70	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) <-> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) ) )
72		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( a x. b ) = ( [_ u / x ]_ A x. b ) )
73	72	fvoveq1d 6035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) )
74	73	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
75	71, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
76		fvoveq1 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) = ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) )
77	76	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g <-> ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) )
78	77	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) <-> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) ) )
79		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( [_ u / x ]_ A x. b ) = ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) )
80	79	fvoveq1d 6035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) )
81	80	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
82	78, 81	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
83	75, 82	rspc2va 2922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( [_ u / x ]_ A e. CC /\ [_ u / x ]_ B e. CC ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
84	64, 67, 68, 83	syl21anc 1270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
85	84	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( u e. X -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
86	60, 85	ralrimi 2601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
87	38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 86	mulcncflem 15321	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
88	87	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
89	37, 88	rexlimddv 2653	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
90	32, 89	rexlimddv 2653	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
91	90	rexlimdvva 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
92	26, 91	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
93	92	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ( ph /\ v e. X ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
94	93	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
95		cncfrss 15289	. . . 4 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> X C_ CC )
96	1, 95	syl 14	. . 3 |- ( ph -> X C_ CC )
97		ssidd 3246	. . 3 |- ( ph -> CC C_ CC )
98		elcncf2 15288	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) <-> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC /\ A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) ) )
99	96, 97, 98	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) <-> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC /\ A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) ) )
100	16, 94, 99	mpbir2and 950	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   [_csb 3125   C_ wss 3198   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   x. cmul 8027   < clt 8204   - cmin 8340   RR+crp 9878   abscabs 11548   -cn->ccncf 15284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-cncf 15285

This theorem is referenced by:  expcncf  15323  divcncfap  15328