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Theorem mulcncf 14027
Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcncf.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
mulcncf.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
mulcncf  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, X    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem mulcncf
Dummy variables  a  b  d  e  f  g  s  t  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcncf.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
2 cncff 14000 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
31, 2syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
4 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
54fmpt 5666 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
63, 5sylibr 134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  CC )
76r19.21bi 2565 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
8 mulcncf.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
9 cncff 14000 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
108, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
11 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
1211fmpt 5666 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
1310, 12sylibr 134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
1413r19.21bi 2565 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
157, 14mulcld 7977 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  x.  B )  e.  CC )
1615fmpttd 5671 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) : X --> CC )
17 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
18 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  ->  v  e.  X )
196ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  X  A  e.  CC )
20 rspcsbela 3116 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  X  /\  A. x  e.  X  A  e.  CC )  ->  [_ v  /  x ]_ A  e.  CC )
2118, 19, 20syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  ->  [_ v  /  x ]_ A  e.  CC )
2213ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
23 rspcsbela 3116 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  X  /\  A. x  e.  X  B  e.  CC )  ->  [_ v  /  x ]_ B  e.  CC )
2418, 22, 23syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  ->  [_ v  /  x ]_ B  e.  CC )
25 mulcn2 11319 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  [_ v  /  x ]_ A  e.  CC  /\  [_ v  /  x ]_ B  e.  CC )  ->  E. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  (
( ( abs `  (
a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( a  x.  b
)  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e ) )
2617, 21, 24, 25syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  (
( ( abs `  (
a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( a  x.  b
)  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e ) )
271ad3antrrr 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
28 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  X )  ->  v  e.  X )
2928ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  ->  v  e.  X )
30 simprl 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  ->  f  e.  RR+ )
31 cncfi 14001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC )  /\  v  e.  X  /\  f  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) )
3227, 29, 30, 31syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  ->  E. s  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  s  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) )
338ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
34 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  ->  g  e.  RR+ )
35 cncfi 14001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC )  /\  v  e.  X  /\  g  e.  RR+ )  ->  E. t  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) )
3633, 29, 34, 35syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  ->  E. t  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) )
3736adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  (
( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  ->  E. t  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  t  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) )
3827ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC ) )
3933ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( X
-cn-> CC ) )
4029ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  v  e.  X )
41 simp-5r 544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  e  e.  RR+ )
4230ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  f  e.  RR+ )
4334ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  g  e.  RR+ )
44 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  (
( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  ->  s  e.  RR+ )
4544ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  s  e.  RR+ )
46 simplrl 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  t  e.  RR+ )
47 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  (
( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) )
4847ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  v ) ) )  <  f ) )
49 simplrr 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
t  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  v ) ) )  <  g ) )
50 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ u
( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )
51 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ u  s  e.  RR+
52 nfra1 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ u A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f )
5351, 52nfan 1565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ u
( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) )
5450, 53nfan 1565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ u
( ( ( (
ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )
55 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ u  t  e.  RR+
56 nfra1 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ u A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  t  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g )
5755, 56nfan 1565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ u
( t  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  t  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) )
5854, 57nfan 1565 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ u
( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )
59 nfv 1528 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ u A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  (
( ( abs `  (
a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( a  x.  b
)  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e )
6058, 59nfan 1565 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ u
( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  v ) ) )  <  f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
t  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  v ) ) )  <  g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  v ) ) )  <  f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
t  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  v ) ) )  <  g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  /\  u  e.  X )  ->  u  e.  X )
6219ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  v ) ) )  <  f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
t  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  v ) ) )  <  g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  /\  u  e.  X )  ->  A. x  e.  X  A  e.  CC )
63 rspcsbela 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  X  /\  A. x  e.  X  A  e.  CC )  ->  [_ u  /  x ]_ A  e.  CC )
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  v ) ) )  <  f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
t  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  v ) ) )  <  g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  /\  u  e.  X )  ->  [_ u  /  x ]_ A  e.  CC )
6522ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  v ) ) )  <  f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
t  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  v ) ) )  <  g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  /\  u  e.  X )  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
66 rspcsbela 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  X  /\  A. x  e.  X  B  e.  CC )  ->  [_ u  /  x ]_ B  e.  CC )
6761, 65, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  v ) ) )  <  f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
t  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  v ) ) )  <  g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  /\  u  e.  X )  ->  [_ u  /  x ]_ B  e.  CC )
68 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  v ) ) )  <  f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
t  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  v ) ) )  <  g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  /\  u  e.  X )  ->  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )
69 fvoveq1 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  [_ u  /  x ]_ A  ->  ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  =  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A ) ) )
7069breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  [_ u  /  x ]_ A  ->  (
( abs `  (
a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  <->  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A
) )  <  f
) )
7170anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  [_ u  /  x ]_ A  ->  (
( ( abs `  (
a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  <  g )  <->  ( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  < 
f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B
) )  <  g
) ) )
72 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  [_ u  /  x ]_ A  ->  (
a  x.  b )  =  ( [_ u  /  x ]_ A  x.  b ) )
7372fvoveq1d 5896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  [_ u  /  x ]_ A  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  =  ( abs `  ( (
[_ u  /  x ]_ A  x.  b
)  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) ) )
7473breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  [_ u  /  x ]_ A  ->  (
( abs `  (
( a  x.  b
)  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( [_ u  /  x ]_ A  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )
7571, 74imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  [_ u  /  x ]_ A  ->  (
( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A
) )  <  f  /\  ( abs `  (
b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  <  g )  ->  ( abs `  (
( a  x.  b
)  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e )  <->  ( (
( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  b
)  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e ) ) )
76 fvoveq1 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  =  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ v  /  x ]_ B ) ) )
7776breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  (
( abs `  (
b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  <  g  <->  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ v  /  x ]_ B
) )  <  g
) )
7877anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  (
( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  <  g )  <->  ( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  < 
f  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ v  /  x ]_ B
) )  <  g
) ) )
79 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  ( [_ u  /  x ]_ A  x.  b
)  =  ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B ) )
8079fvoveq1d 5896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  ( abs `  ( ( [_ u  /  x ]_ A  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  =  ( abs `  ( (
[_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) ) )
8180breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  (
( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  b
)  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )
8278, 81imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  [_ u  /  x ]_ B  ->  (
( ( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A
) )  <  f  /\  ( abs `  (
b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  <  g )  ->  ( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  b
)  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e )  <->  ( (
( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) ) )
8375, 82rspc2va 2855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( [_ u  /  x ]_ A  e.  CC  /\ 
[_ u  /  x ]_ B  e.  CC )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  (
( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )
8464, 67, 68, 83syl21anc 1237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  /\  ( s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
s  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  v ) ) )  <  f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v ) )  < 
t  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  v ) ) )  <  g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  /\  u  e.  X )  ->  (
( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )
8584ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  (
u  e.  X  -> 
( ( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A
) )  <  f  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  <  g )  ->  ( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e ) ) )
8660, 85ralrimi 2548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  A. u  e.  X  ( (
( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )
8738, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 86mulcncflem 14026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  /\  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  v
) ) )  < 
e ) )
8887ex 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  RR+  /\ 
A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  t  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  v
) ) )  < 
g ) ) )  ->  ( A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
)  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  v
) ) )  < 
e ) ) )
8937, 88rexlimddv 2599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ ) )  /\  (
s  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  (
( abs `  (
u  -  v ) )  <  s  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  v
) ) )  < 
f ) ) )  ->  ( A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
)  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  v
) ) )  < 
e ) ) )
9032, 89rexlimddv 2599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( f  e.  RR+  /\  g  e.  RR+ )
)  ->  ( A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
)  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  v
) ) )  < 
e ) ) )
9190rexlimdvva 2602 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. a  e.  CC  A. b  e.  CC  ( ( ( abs `  ( a  -  [_ v  /  x ]_ A ) )  <  f  /\  ( abs `  ( b  -  [_ v  /  x ]_ B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( a  x.  b )  -  ( [_ v  /  x ]_ A  x.  [_ v  /  x ]_ B ) ) )  <  e
)  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  v
) ) )  < 
e ) ) )
9226, 91mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  X )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  v
) ) )  < 
e ) )
9392ralrimiva 2550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  v  e.  X )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  v ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  v
) ) )  < 
e ) )
9493ralrimiva 2550 . 2  |-  ( ph  ->  A. v  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  v
) ) )  < 
e ) )
95 cncfrss 13998 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  X  C_  CC )
961, 95syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
97 ssidd 3176 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
98 elcncf2 13997 . . 3  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) )  e.  ( X -cn-> CC )  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) : X --> CC  /\  A. v  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  v
) ) )  < 
e ) ) ) )
9996, 97, 98syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) )  e.  ( X -cn-> CC )  <-> 
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) : X --> CC  /\  A. v  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  v
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  v
) ) )  < 
e ) ) ) )
10016, 94, 99mpbir2and 944 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   [_csb 3057    C_ wss 3129   class class class wbr 4003    |-> cmpt 4064   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808    x. cmul 7815    < clt 7991    - cmin 8127   RR+crp 9652   abscabs 11005   -cn->ccncf 13993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-cncf 13994
This theorem is referenced by:  expcncf  14028
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