Theorem mulcncf 15276

Description: The multiplication of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncf.1	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
mulcncf.2	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
mulcncf	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, X   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem mulcncf

Dummy variables a b d e f g s t u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncf.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
2		cncff 15245	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
4		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
5	4	fmpt 5784	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
6	3, 5	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
7	6	r19.21bi 2618	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
8		mulcncf.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
9		cncff 15245	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
11		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
12	11	fmpt 5784	. . . . . 6 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
13	10, 12	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. CC )
14	13	r19.21bi 2618	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
15	7, 14	mulcld 8163	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A x. B ) e. CC )
16	15	fmpttd 5789	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC )
17		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
18		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> v e. X )
19	6	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> A. x e. X A e. CC )
20		rspcsbela 3184	. . . . . . 7 |- ( ( v e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ v / x ]_ A e. CC )
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> [_ v / x ]_ A e. CC )
22	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> A. x e. X B e. CC )
23		rspcsbela 3184	. . . . . . 7 |- ( ( v e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ v / x ]_ B e. CC )
24	18, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> [_ v / x ]_ B e. CC )
25		mulcn2 11818	. . . . . 6 |- ( ( e e. RR+ /\ [_ v / x ]_ A e. CC /\ [_ v / x ]_ B e. CC ) -> E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
26	17, 21, 24, 25	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
27	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. X ) -> v e. X )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> v e. X )
30		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> f e. RR+ )
31		cncfi 15246	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) /\ v e. X /\ f e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
32	27, 29, 30, 31	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
33	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
34		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> g e. RR+ )
35		cncfi 15246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) /\ v e. X /\ g e. RR+ ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
36	33, 29, 34, 35	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> E. t e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
38	27	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
39	33	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
40	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> v e. X )
41		simp-5r 544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> e e. RR+ )
42	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> f e. RR+ )
43	34	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> g e. RR+ )
44		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> s e. RR+ )
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> s e. RR+ )
46		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> t e. RR+ )
47		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
49		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
50		nfv 1574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) )
51		nfv 1574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ u s e. RR+
52		nfra1 2561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ u A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f )
53	51, 52	nfan 1611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) )
54	50, 53	nfan 1611	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ u ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) )
55		nfv 1574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u t e. RR+
56		nfra1 2561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ u A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g )
57	55, 56	nfan 1611	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ u ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) )
58	54, 57	nfan 1611	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ u ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) )
59		nfv 1574	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ u A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e )
60	58, 59	nfan 1611	. . . . . . . . . . 11 |- F/ u ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> u e. X )
62	19	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. x e. X A e. CC )
63		rspcsbela 3184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ u / x ]_ A e. CC )
64	61, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> [_ u / x ]_ A e. CC )
65	22	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. x e. X B e. CC )
66		rspcsbela 3184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ u / x ]_ B e. CC )
67	61, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> [_ u / x ]_ B e. CC )
68		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
69		fvoveq1 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) = ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) )
70	69	breq1d 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f <-> ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f ) )
71	70	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) <-> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) ) )
72		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( a x. b ) = ( [_ u / x ]_ A x. b ) )
73	72	fvoveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) )
74	73	breq1d 4092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
75	71, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = [_ u / x ]_ A -> ( ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
76		fvoveq1 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) = ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) )
77	76	breq1d 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g <-> ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) )
78	77	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) <-> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) ) )
79		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( [_ u / x ]_ A x. b ) = ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) )
80	79	fvoveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) )
81	80	breq1d 4092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
82	78, 81	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = [_ u / x ]_ B -> ( ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
83	75, 82	rspc2va 2921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( [_ u / x ]_ A e. CC /\ [_ u / x ]_ B e. CC ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
84	64, 67, 68, 83	syl21anc 1270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) /\ u e. X ) -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
85	84	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> ( u e. X -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) )
86	60, 85	ralrimi 2601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) )
87	38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 86	mulcncflem 15275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) /\ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
88	87	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) /\ ( t e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < t -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` v ) ) ) < g ) ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
89	37, 88	rexlimddv 2653	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) /\ ( s e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < s -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` v ) ) ) < f ) ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
90	32, 89	rexlimddv 2653	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) /\ ( f e. RR+ /\ g e. RR+ ) ) -> ( A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
91	90	rexlimdvva 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. f e. RR+ E. g e. RR+ A. a e. CC A. b e. CC ( ( ( abs ` ( a - [_ v / x ]_ A ) ) < f /\ ( abs ` ( b - [_ v / x ]_ B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( a x. b ) - ( [_ v / x ]_ A x. [_ v / x ]_ B ) ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) )
92	26, 91	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ v e. X ) /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
93	92	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ( ph /\ v e. X ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
94	93	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) )
95		cncfrss 15243	. . . 4 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> X C_ CC )
96	1, 95	syl 14	. . 3 |- ( ph -> X C_ CC )
97		ssidd 3245	. . 3 |- ( ph -> CC C_ CC )
98		elcncf2 15242	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) <-> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC /\ A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) ) )
99	96, 97, 98	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) <-> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) : X --> CC /\ A. v e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - v ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` v ) ) ) < e ) ) ) )
100	16, 94, 99	mpbir2and 950	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A x. B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   [_csb 3124   C_ wss 3197   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   -->wf 5313   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   x. cmul 8000   < clt 8177   - cmin 8313   RR+crp 9845   abscabs 11503   -cn->ccncf 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-map 6795  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-rp 9846  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-cncf 15239

This theorem is referenced by:  expcncf  15277  divcncfap  15282