Theorem cncfmpt2fcntop 15146

Description: Composition of continuous functions. -cn-> analogue of cnmpt12f 14833. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt2fcntop.1	|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
cncfmpt2f.2	|- ( ph -> F e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
cncfmpt2f.3	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
cncfmpt2f.4	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt2fcntop	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A F B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   ph, x   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem cncfmpt2fcntop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt2fcntop.1	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
2	1	cntoptopon 15079	. . . 4 |- J e. (TopOn ` CC )
3		cncfmpt2f.3	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
4		cncfrss 15122	. . . . 5 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> X C_ CC )
5	3, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> X C_ CC )
6		resttopon 14718	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ X C_ CC ) -> ( J ↾t X ) e. (TopOn ` X ) )
7	2, 5, 6	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> ( J ↾t X ) e. (TopOn ` X ) )
8		ssid 3217	. . . . 5 |- CC C_ CC
9		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( J ↾t X ) = ( J ↾t X )
10	2	toponrestid 14568	. . . . . 6 |- J = ( J ↾t CC )
11	1, 9, 10	cncfcncntop 15140	. . . . 5 |- ( ( X C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( X -cn-> CC ) = ( ( J ↾t X ) Cn J ) )
12	5, 8, 11	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( X -cn-> CC ) = ( ( J ↾t X ) Cn J ) )
13	3, 12	eleqtrd 2285	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J ↾t X ) Cn J ) )
14		cncfmpt2f.4	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
15	14, 12	eleqtrd 2285	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J ↾t X ) Cn J ) )
16		cncfmpt2f.2	. . 3 |- ( ph -> F e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
17	7, 13, 15, 16	cnmpt12f 14833	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A F B ) ) e. ( ( J ↾t X ) Cn J ) )
18	17, 12	eleqtrrd 2286	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A F B ) ) e. ( X -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   C_ wss 3170   |-> cmpt 4113   o. ccom 4687   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   CCcc 7943   - cmin 8263   abscabs 11383   ↾_t crest 13146   MetOpencmopn 14378  TopOnctopon 14557   Cn ccn 14732   tX ctx 14799   -cn->ccncf 15117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-map 6750  df-sup 7101  df-inf 7102  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-xneg 9914  df-xadd 9915  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-rest 13148  df-topgen 13167  df-psmet 14380  df-xmet 14381  df-met 14382  df-bl 14383  df-mopn 14384  df-top 14545  df-topon 14558  df-bases 14590  df-cn 14735  df-cnp 14736  df-tx 14800  df-cncf 15118

This theorem is referenced by:  sub1cncf  15149  sub2cncf  15150  addcncf  15159  subcncf  15160  dvcnp2cntop  15246  sincn  15316  coscn  15317