Theorem mulcncflem 13230

Description: Lemma for mulcncf 13231. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncflem.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
mulcncflem.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
mulcncflem.v	|- ( ph -> V e. X )
mulcncflem.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
mulcncflem.f	|- ( ph -> F e. RR+ )
mulcncflem.g	|- ( ph -> G e. RR+ )
mulcncflem.s	|- ( ph -> S e. RR+ )
mulcncflem.t	|- ( ph -> T e. RR+ )
mulcncflem.acn	|- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
mulcncflem.bcn	|- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
mulcncflem.cn	|- ( ph -> A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )

Assertion

Ref	Expression
mulcncflem	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )

Distinct variable groups:   A, d, u   B, d, u   u, V   E, d, u   u, F   u, G   S, d, u   T, d, u   V, d, x, u   X, d, u, x

Allowed substitution hints:   ph( x, u, d)   A( x)   B( x)   S( x)   T( x)   E( x)   F( x, d)   G( x, d)

Proof of Theorem mulcncflem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncflem.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. RR+ )
2	1	rpred 9632	. . . 4 |- ( ph -> S e. RR )
3		mulcncflem.t	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR+ )
4	3	rpred 9632	. . . 4 |- ( ph -> T e. RR )
5		mincl 11172	. . . 4 |- ( ( S e. RR /\ T e. RR ) -> inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR )
6	2, 4, 5	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR )
7	1	rpgt0d 9635	. . . 4 |- ( ph -> 0 < S )
8	3	rpgt0d 9635	. . . 4 |- ( ph -> 0 < T )
9		0red 7900	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. RR )
10		ltmininf 11176	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ S e. RR /\ T e. RR ) -> ( 0 < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( 0 < S /\ 0 < T ) ) )
11	9, 2, 4, 10	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( 0 < S /\ 0 < T ) ) )
12	7, 8, 11	mpbir2and 934	. . 3 |- ( ph -> 0 < inf ( { S , T } , RR , < ) )
13	6, 12	elrpd 9629	. 2 |- ( ph -> inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR+ )
14		simplr 520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> z e. X )
15		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. X )
16		mulcncflem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
17		cncff 13204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
19		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
20	19	fmpt 5635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
21	18, 20	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
22		mulcncflem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
23		cncff 13204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
25		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
26	25	fmpt 5635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
27	24, 26	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X B e. CC )
28		r19.26 2592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. X ( A e. CC /\ B e. CC ) <-> ( A. x e. X A e. CC /\ A. x e. X B e. CC ) )
29	21, 27, 28	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. X ( A e. CC /\ B e. CC ) )
30		mulcl 7880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
31	30	ralimi 2529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. X ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A. x e. X ( A x. B ) e. CC )
32	29, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. X ( A x. B ) e. CC )
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X ( A x. B ) e. CC )
34		rspcsbela 3104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. X /\ A. x e. X ( A x. B ) e. CC ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
35	15, 33, 34	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
36	35	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
37		eqid 2165	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X |-> ( A x. B ) ) = ( x e. X |-> ( A x. B ) )
38	37	fvmpts 5564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X /\ [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) = [_ z / x ]_ ( A x. B ) )
39	14, 36, 38	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) = [_ z / x ]_ ( A x. B ) )
40		csbov12g 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. X -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
41	14, 40	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
42	39, 41	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
43		mulcncflem.v	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> V e. X )
44	43	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> V e. X )
45		rspcsbela 3104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. X /\ A. x e. X ( A x. B ) e. CC ) -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
46	43, 32, 45	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
47	46	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
48	37	fvmpts 5564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. X /\ [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) = [_ V / x ]_ ( A x. B ) )
49	44, 47, 48	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) = [_ V / x ]_ ( A x. B ) )
50		csbov12g 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( V e. X -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) )
51	44, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) )
52	49, 51	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) = ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) )
53	42, 52	oveq12d 5860	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) = ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) )
54	53	fveq2d 5490	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) )
55		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) )
56		cncfrss 13202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> X C_ CC )
57	16, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X C_ CC )
58	57	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> X C_ CC )
59	58, 14	sseldd 3143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> z e. CC )
60	57, 43	sseldd 3143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V e. CC )
61	60	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> V e. CC )
62	59, 61	subcld 8209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( z - V ) e. CC )
63	62	abscld 11123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( z - V ) ) e. RR )
64	2	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> S e. RR )
65	4	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> T e. RR )
66		ltmininf 11176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( z - V ) ) e. RR /\ S e. RR /\ T e. RR ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) ) )
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) ) )
68	55, 67	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) )
69		mulcncflem.acn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
70		fvoveq1 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = z -> ( abs ` ( u - V ) ) = ( abs ` ( z - V ) ) )
71	70	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( u - V ) ) < S <-> ( abs ` ( z - V ) ) < S ) )
72	71	imbrov2fvoveq 5867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) ) )
73	72	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) <-> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
74	69, 73	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
75	74	r19.21bi 2554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
76	21	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X A e. CC )
77		rspcsbela 3104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ z / x ]_ A e. CC )
78	15, 76, 77	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ z / x ]_ A e. CC )
79	19	fvmpts 5564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. X /\ [_ z / x ]_ A e. CC ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` z ) = [_ z / x ]_ A )
80	15, 78, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` z ) = [_ z / x ]_ A )
81	43	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> V e. X )
82		rspcsbela 3104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ V / x ]_ A e. CC )
83	81, 76, 82	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ V / x ]_ A e. CC )
84	19	fvmpts 5564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. X /\ [_ V / x ]_ A e. CC ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` V ) = [_ V / x ]_ A )
85	81, 83, 84	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` V ) = [_ V / x ]_ A )
86	80, 85	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) = ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) )
87	86	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) )
88	87	breq1d 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F ) )
89	75, 88	sylibd 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F ) )
90		mulcncflem.bcn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
91	70	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( u - V ) ) < T <-> ( abs ` ( z - V ) ) < T ) )
92	91	imbrov2fvoveq 5867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) ) )
93	92	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) <-> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
94	90, 93	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
95	94	r19.21bi 2554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
96	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X B e. CC )
97		rspcsbela 3104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ z / x ]_ B e. CC )
98	15, 96, 97	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ z / x ]_ B e. CC )
99	25	fvmpts 5564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. X /\ [_ z / x ]_ B e. CC ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` z ) = [_ z / x ]_ B )
100	15, 98, 99	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` z ) = [_ z / x ]_ B )
101		rspcsbela 3104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ V / x ]_ B e. CC )
102	81, 96, 101	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ V / x ]_ B e. CC )
103	25	fvmpts 5564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. X /\ [_ V / x ]_ B e. CC ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` V ) = [_ V / x ]_ B )
104	81, 102, 103	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` V ) = [_ V / x ]_ B )
105	100, 104	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) = ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) )
106	105	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) )
107	106	breq1d 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
108	95, 107	sylibd 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
109	89, 108	anim12d 333	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) -> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) ) )
110	109	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) -> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) ) )
111	68, 110	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
112		mulcncflem.cn	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
113		csbeq1 3048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> [_ u / x ]_ A = [_ z / x ]_ A )
114	113	fvoveq1d 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) )
115	114	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F ) )
116		csbeq1 3048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> [_ u / x ]_ B = [_ z / x ]_ B )
117	116	fvoveq1d 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) )
118	117	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
119	115, 118	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) <-> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) ) )
120	113, 116	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
121	120	fvoveq1d 5864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) )
122	121	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E <-> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
123	119, 122	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> ( ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) <-> ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) ) )
124	123	cbvralv 2692	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) <-> A. z e. X ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
125	112, 124	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. z e. X ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
126	125	r19.21bi 2554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
127	126	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
128	111, 127	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E )
129	54, 128	eqbrtrd 4004	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E )
130	129	ex 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
131	130	ralrimiva 2539	. . 3 |- ( ph -> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
132		fvoveq1 5865	. . . . . 6 |- ( z = u -> ( abs ` ( z - V ) ) = ( abs ` ( u - V ) ) )
133	132	breq1d 3992	. . . . 5 |- ( z = u -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) )
134	133	imbrov2fvoveq 5867	. . . 4 |- ( z = u -> ( ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) <-> ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) ) )
135	134	cbvralv 2692	. . 3 |- ( A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) <-> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
136	131, 135	sylib 121	. 2 |- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
137		breq2 3986	. . 3 |- ( d = inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( ( abs ` ( u - V ) ) < d <-> ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) )
138	137	rspceaimv 2838	. 2 |- ( (inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
139	13, 136, 138	syl2anc 409	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   [_csb 3045   C_ wss 3116   {cpr 3577   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842  infcinf 6948   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   x. cmul 7758   < clt 7933   - cmin 8069   RR+crp 9589   abscabs 10939   -cn->ccncf 13197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-cncf 13198

This theorem is referenced by:  mulcncf  13231