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Theorem mulcncflem 14487
Description: Lemma for mulcncf 14488. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcncflem.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
mulcncflem.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
mulcncflem.v  |-  ( ph  ->  V  e.  X )
mulcncflem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
mulcncflem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  RR+ )
mulcncflem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
mulcncflem.s  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
mulcncflem.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
mulcncflem.acn  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F ) )
mulcncflem.bcn  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G ) )
mulcncflem.cn  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G )  ->  ( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E ) )
Assertion
Ref Expression
mulcncflem  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )
Distinct variable groups:    A, d, u    B, d, u    u, V    E, d, u    u, F   
u, G    S, d, u    T, d, u    V, d, x, u    X, d, u, x
Allowed substitution hints:    ph( x, u, d)    A( x)    B( x)    S( x)    T( x)    E( x)    F( x, d)    G( x, d)

Proof of Theorem mulcncflem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcncflem.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
21rpred 9714 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
3 mulcncflem.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
43rpred 9714 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
5 mincl 11257 . . . 4  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  -> inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
62, 4, 5syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  -> inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
71rpgt0d 9717 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  S )
83rpgt0d 9717 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  T )
9 0red 7976 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
10 ltmininf 11261 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  (
0  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  <->  ( 0  <  S  /\  0  <  T ) ) )
119, 2, 4, 10syl3anc 1249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  <->  ( 0  <  S  /\  0  <  T ) ) )
127, 8, 11mpbir2and 946 . . 3  |-  ( ph  ->  0  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )
)
136, 12elrpd 9711 . 2  |-  ( ph  -> inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
14 simplr 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  z  e.  X )
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
16 mulcncflem.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
17 cncff 14461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
19 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
2019fmpt 5682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
2118, 20sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  CC )
22 mulcncflem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
23 cncff 14461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
25 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
2625fmpt 5682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
2724, 26sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
28 r19.26 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  X  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  <->  ( A. x  e.  X  A  e.  CC  /\  A. x  e.  X  B  e.  CC ) )
2921, 27, 28sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
30 mulcl 7956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
3130ralimi 2553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  X  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A. x  e.  X  ( A  x.  B )  e.  CC )
3229, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( A  x.  B
)  e.  CC )
3332adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A. x  e.  X  ( A  x.  B )  e.  CC )
34 rspcsbela 3131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( A  x.  B )  e.  CC )  ->  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B
)  e.  CC )
3515, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B )  e.  CC )
3635adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B )  e.  CC )
37 eqid 2189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) )
3837fvmpts 5610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 z )  = 
[_ z  /  x ]_ ( A  x.  B
) )
3914, 36, 38syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  z
)  =  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B ) )
40 csbov12g 5930 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  X  ->  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B )  =  ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B
) )
4114, 40syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B )  =  ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B
) )
4239, 41eqtrd 2222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  z
)  =  ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B ) )
43 mulcncflem.v . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  V  e.  X )
4443ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  V  e.  X )
45 rspcsbela 3131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( A  x.  B )  e.  CC )  ->  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B
)  e.  CC )
4643, 32, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B
)  e.  CC )
4746ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B )  e.  CC )
4837fvmpts 5610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  X  /\  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 V )  = 
[_ V  /  x ]_ ( A  x.  B
) )
4944, 47, 48syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
)  =  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B ) )
50 csbov12g 5930 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  X  ->  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B )  =  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B
) )
5144, 50syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B )  =  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B
) )
5249, 51eqtrd 2222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
)  =  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) )
5342, 52oveq12d 5909 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) )  =  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B
)  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )
5453fveq2d 5534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 V ) ) )  =  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) ) )
55 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )
56 cncfrss 14459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  X  C_  CC )
5716, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
5857ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  X  C_  CC )
5958, 14sseldd 3171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  z  e.  CC )
6057, 43sseldd 3171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  V  e.  CC )
6160ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  V  e.  CC )
6259, 61subcld 8286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
z  -  V )  e.  CC )
6362abscld 11208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( z  -  V ) )  e.  RR )
642ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  S  e.  RR )
654ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  T  e.  RR )
66 ltmininf 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
z  -  V ) )  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  <  T ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  <  T ) ) )
6855, 67mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  <  T ) )
69 mulcncflem.acn . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F ) )
70 fvoveq1 5914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  z  ->  ( abs `  ( u  -  V ) )  =  ( abs `  (
z  -  V ) ) )
7170breq1d 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  (
( abs `  (
u  -  V ) )  <  S  <->  ( abs `  ( z  -  V
) )  <  S
) )
7271imbrov2fvoveq 5916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  (
( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F )  <->  ( ( abs `  ( z  -  V ) )  < 
S  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 z )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  V ) ) )  <  F ) ) )
7372cbvralv 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  X  (
( abs `  (
u  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F )  <->  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  V ) )  < 
S  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 z )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  V ) ) )  <  F ) )
7469, 73sylib 122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F ) )
7574r19.21bi 2578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F ) )
7621adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A. x  e.  X  A  e.  CC )
77 rspcsbela 3131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  X  /\  A. x  e.  X  A  e.  CC )  ->  [_ z  /  x ]_ A  e.  CC )
7815, 76, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  [_ z  /  x ]_ A  e.  CC )
7919fvmpts 5610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  X  /\  [_ z  /  x ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  =  [_ z  /  x ]_ A
)
8015, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  z
)  =  [_ z  /  x ]_ A )
8143adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  V  e.  X )
82 rspcsbela 3131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  X  /\  A. x  e.  X  A  e.  CC )  ->  [_ V  /  x ]_ A  e.  CC )
8381, 76, 82syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  [_ V  /  x ]_ A  e.  CC )
8419fvmpts 5610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  X  /\  [_ V  /  x ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  V )  =  [_ V  /  x ]_ A
)
8581, 83, 84syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
)  =  [_ V  /  x ]_ A )
8680, 85oveq12d 5909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) )  =  (
[_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )
8786fveq2d 5534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 V ) ) )  =  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) ) )
8887breq1d 4028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F  <->  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F ) )
8975, 88sylibd 149 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F ) )
90 mulcncflem.bcn . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G ) )
9170breq1d 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  (
( abs `  (
u  -  V ) )  <  T  <->  ( abs `  ( z  -  V
) )  <  T
) )
9291imbrov2fvoveq 5916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  (
( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G )  <->  ( ( abs `  ( z  -  V ) )  < 
T  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 z )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  V ) ) )  <  G ) ) )
9392cbvralv 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  X  (
( abs `  (
u  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G )  <->  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  V ) )  < 
T  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 z )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  V ) ) )  <  G ) )
9490, 93sylib 122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G ) )
9594r19.21bi 2578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G ) )
9627adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
97 rspcsbela 3131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  X  /\  A. x  e.  X  B  e.  CC )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  CC )
9815, 96, 97syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  CC )
9925fvmpts 5610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  X  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  =  [_ z  /  x ]_ B
)
10015, 98, 99syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  z
)  =  [_ z  /  x ]_ B )
101 rspcsbela 3131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  X  /\  A. x  e.  X  B  e.  CC )  ->  [_ V  /  x ]_ B  e.  CC )
10281, 96, 101syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  [_ V  /  x ]_ B  e.  CC )
10325fvmpts 5610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  X  /\  [_ V  /  x ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  V )  =  [_ V  /  x ]_ B
)
10481, 102, 103syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
)  =  [_ V  /  x ]_ B )
105100, 104oveq12d 5909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )
106105fveq2d 5534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 V ) ) )  =  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B
) ) )
107106breq1d 4028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G  <->  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G ) )
10895, 107sylibd 149 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G ) )
10989, 108anim12d 335 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  <  T )  -> 
( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G ) ) )
110109adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  <  T )  -> 
( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G ) ) )
11168, 110mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G ) )
112 mulcncflem.cn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G )  ->  ( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E ) )
113 csbeq1 3075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  [_ u  /  x ]_ A  = 
[_ z  /  x ]_ A )
114113fvoveq1d 5913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  =  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) ) )
115114breq1d 4028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  <->  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F
) )
116 csbeq1 3075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  [_ u  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
117116fvoveq1d 5913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  =  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) ) )
118117breq1d 4028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G  <->  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B
) )  <  G
) )
119115, 118anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G )  <->  ( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  < 
F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B
) )  <  G
) ) )
120113, 116oveq12d 5909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  =  ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B ) )
121120fvoveq1d 5913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  ( abs `  ( ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  =  ( abs `  ( (
[_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) ) )
122121breq1d 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
) )
123119, 122imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( ( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G )  ->  ( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E )  <->  ( (
( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G )  ->  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
) ) )
124123cbvralv 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  X  (
( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G )  ->  ( abs `  ( ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
)  <->  A. z  e.  X  ( ( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G )  ->  ( abs `  (
( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E ) )
125112, 124sylib 122 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G )  ->  ( abs `  (
( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E ) )
126125r19.21bi 2578 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G )  ->  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
) )
127126adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G )  ->  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
) )
128111, 127mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
)
12954, 128eqbrtrd 4040 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 V ) ) )  <  E )
130129ex 115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )
131130ralrimiva 2563 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )
132 fvoveq1 5914 . . . . . 6  |-  ( z  =  u  ->  ( abs `  ( z  -  V ) )  =  ( abs `  (
u  -  V ) ) )
133132breq1d 4028 . . . . 5  |-  ( z  =  u  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  <->  ( abs `  ( u  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) ) )
134133imbrov2fvoveq 5916 . . . 4  |-  ( z  =  u  ->  (
( ( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E )  <->  ( ( abs `  ( u  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  V ) ) )  <  E ) ) )
135134cbvralv 2718 . . 3  |-  ( A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E )  <->  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  V ) ) )  <  E ) )
136131, 135sylib 122 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )
137 breq2 4022 . . 3  |-  ( d  = inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  (
( abs `  (
u  -  V ) )  <  d  <->  ( abs `  ( u  -  V
) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )
) )
138137rspceaimv 2864 . 2  |-  ( (inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  (
( abs `  (
u  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  V ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  V ) ) )  <  E ) )
13913, 136, 138syl2anc 411 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   [_csb 3072    C_ wss 3144   {cpr 3608   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079   -->wf 5227   ` cfv 5231  (class class class)co 5891  infcinf 7000   CCcc 7827   RRcr 7828   0cc0 7829    x. cmul 7834    < clt 8010    - cmin 8146   RR+crp 9671   abscabs 11024   -cn->ccncf 14454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-map 6668  df-sup 7001  df-inf 7002  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-rp 9672  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-cncf 14455
This theorem is referenced by:  mulcncf  14488
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