Theorem mulcncflem 14786

Description: Lemma for mulcncf 14787. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncflem.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
mulcncflem.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
mulcncflem.v	|- ( ph -> V e. X )
mulcncflem.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
mulcncflem.f	|- ( ph -> F e. RR+ )
mulcncflem.g	|- ( ph -> G e. RR+ )
mulcncflem.s	|- ( ph -> S e. RR+ )
mulcncflem.t	|- ( ph -> T e. RR+ )
mulcncflem.acn	|- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
mulcncflem.bcn	|- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
mulcncflem.cn	|- ( ph -> A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )

Assertion

Ref	Expression
mulcncflem	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )

Distinct variable groups:   A, d, u   B, d, u   u, V   E, d, u   u, F   u, G   S, d, u   T, d, u   V, d, x, u   X, d, u, x

Allowed substitution hints:   ph( x, u, d)   A( x)   B( x)   S( x)   T( x)   E( x)   F( x, d)   G( x, d)

Proof of Theorem mulcncflem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncflem.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. RR+ )
2	1	rpred 9765	. . . 4 |- ( ph -> S e. RR )
3		mulcncflem.t	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR+ )
4	3	rpred 9765	. . . 4 |- ( ph -> T e. RR )
5		mincl 11377	. . . 4 |- ( ( S e. RR /\ T e. RR ) -> inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR )
7	1	rpgt0d 9768	. . . 4 |- ( ph -> 0 < S )
8	3	rpgt0d 9768	. . . 4 |- ( ph -> 0 < T )
9		0red 8022	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. RR )
10		ltmininf 11381	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ S e. RR /\ T e. RR ) -> ( 0 < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( 0 < S /\ 0 < T ) ) )
11	9, 2, 4, 10	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( 0 < S /\ 0 < T ) ) )
12	7, 8, 11	mpbir2and 946	. . 3 |- ( ph -> 0 < inf ( { S , T } , RR , < ) )
13	6, 12	elrpd 9762	. 2 |- ( ph -> inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR+ )
14		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> z e. X )
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. X )
16		mulcncflem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
17		cncff 14756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
19		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
20	19	fmpt 5709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
21	18, 20	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
22		mulcncflem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
23		cncff 14756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
25		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
26	25	fmpt 5709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
27	24, 26	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X B e. CC )
28		r19.26 2620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. X ( A e. CC /\ B e. CC ) <-> ( A. x e. X A e. CC /\ A. x e. X B e. CC ) )
29	21, 27, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. X ( A e. CC /\ B e. CC ) )
30		mulcl 8001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
31	30	ralimi 2557	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. X ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A. x e. X ( A x. B ) e. CC )
32	29, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. X ( A x. B ) e. CC )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X ( A x. B ) e. CC )
34		rspcsbela 3141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. X /\ A. x e. X ( A x. B ) e. CC ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
35	15, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
37		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X |-> ( A x. B ) ) = ( x e. X |-> ( A x. B ) )
38	37	fvmpts 5636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X /\ [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) = [_ z / x ]_ ( A x. B ) )
39	14, 36, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) = [_ z / x ]_ ( A x. B ) )
40		csbov12g 5958	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. X -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
41	14, 40	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
42	39, 41	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
43		mulcncflem.v	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> V e. X )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> V e. X )
45		rspcsbela 3141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. X /\ A. x e. X ( A x. B ) e. CC ) -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
46	43, 32, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
48	37	fvmpts 5636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. X /\ [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) = [_ V / x ]_ ( A x. B ) )
49	44, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) = [_ V / x ]_ ( A x. B ) )
50		csbov12g 5958	. . . . . . . . . 10 |- ( V e. X -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) )
51	44, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) )
52	49, 51	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) = ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) )
53	42, 52	oveq12d 5937	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) = ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) )
54	53	fveq2d 5559	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) )
55		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) )
56		cncfrss 14754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> X C_ CC )
57	16, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X C_ CC )
58	57	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> X C_ CC )
59	58, 14	sseldd 3181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> z e. CC )
60	57, 43	sseldd 3181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V e. CC )
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> V e. CC )
62	59, 61	subcld 8332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( z - V ) e. CC )
63	62	abscld 11328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( z - V ) ) e. RR )
64	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> S e. RR )
65	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> T e. RR )
66		ltmininf 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( z - V ) ) e. RR /\ S e. RR /\ T e. RR ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) ) )
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) ) )
68	55, 67	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) )
69		mulcncflem.acn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
70		fvoveq1 5942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = z -> ( abs ` ( u - V ) ) = ( abs ` ( z - V ) ) )
71	70	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( u - V ) ) < S <-> ( abs ` ( z - V ) ) < S ) )
72	71	imbrov2fvoveq 5944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) ) )
73	72	cbvralv 2726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) <-> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
74	69, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
75	74	r19.21bi 2582	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
76	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X A e. CC )
77		rspcsbela 3141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ z / x ]_ A e. CC )
78	15, 76, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ z / x ]_ A e. CC )
79	19	fvmpts 5636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. X /\ [_ z / x ]_ A e. CC ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` z ) = [_ z / x ]_ A )
80	15, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` z ) = [_ z / x ]_ A )
81	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> V e. X )
82		rspcsbela 3141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ V / x ]_ A e. CC )
83	81, 76, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ V / x ]_ A e. CC )
84	19	fvmpts 5636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. X /\ [_ V / x ]_ A e. CC ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` V ) = [_ V / x ]_ A )
85	81, 83, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` V ) = [_ V / x ]_ A )
86	80, 85	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) = ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) )
87	86	fveq2d 5559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) )
88	87	breq1d 4040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F ) )
89	75, 88	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F ) )
90		mulcncflem.bcn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
91	70	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( u - V ) ) < T <-> ( abs ` ( z - V ) ) < T ) )
92	91	imbrov2fvoveq 5944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) ) )
93	92	cbvralv 2726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) <-> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
94	90, 93	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
95	94	r19.21bi 2582	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
96	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X B e. CC )
97		rspcsbela 3141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ z / x ]_ B e. CC )
98	15, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ z / x ]_ B e. CC )
99	25	fvmpts 5636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. X /\ [_ z / x ]_ B e. CC ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` z ) = [_ z / x ]_ B )
100	15, 98, 99	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` z ) = [_ z / x ]_ B )
101		rspcsbela 3141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ V / x ]_ B e. CC )
102	81, 96, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ V / x ]_ B e. CC )
103	25	fvmpts 5636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. X /\ [_ V / x ]_ B e. CC ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` V ) = [_ V / x ]_ B )
104	81, 102, 103	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` V ) = [_ V / x ]_ B )
105	100, 104	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) = ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) )
106	105	fveq2d 5559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) )
107	106	breq1d 4040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
108	95, 107	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
109	89, 108	anim12d 335	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) -> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) ) )
110	109	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) -> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) ) )
111	68, 110	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
112		mulcncflem.cn	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
113		csbeq1 3084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> [_ u / x ]_ A = [_ z / x ]_ A )
114	113	fvoveq1d 5941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) )
115	114	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F ) )
116		csbeq1 3084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> [_ u / x ]_ B = [_ z / x ]_ B )
117	116	fvoveq1d 5941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) )
118	117	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
119	115, 118	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) <-> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) ) )
120	113, 116	oveq12d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
121	120	fvoveq1d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) )
122	121	breq1d 4040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E <-> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
123	119, 122	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> ( ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) <-> ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) ) )
124	123	cbvralv 2726	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) <-> A. z e. X ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
125	112, 124	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. z e. X ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
126	125	r19.21bi 2582	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
127	126	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
128	111, 127	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E )
129	54, 128	eqbrtrd 4052	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E )
130	129	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
131	130	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( ph -> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
132		fvoveq1 5942	. . . . . 6 |- ( z = u -> ( abs ` ( z - V ) ) = ( abs ` ( u - V ) ) )
133	132	breq1d 4040	. . . . 5 |- ( z = u -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) )
134	133	imbrov2fvoveq 5944	. . . 4 |- ( z = u -> ( ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) <-> ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) ) )
135	134	cbvralv 2726	. . 3 |- ( A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) <-> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
136	131, 135	sylib 122	. 2 |- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
137		breq2 4034	. . 3 |- ( d = inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( ( abs ` ( u - V ) ) < d <-> ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) )
138	137	rspceaimv 2873	. 2 |- ( (inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
139	13, 136, 138	syl2anc 411	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   [_csb 3081   C_ wss 3154   {cpr 3620   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919  infcinf 7044   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   x. cmul 7879   < clt 8056   - cmin 8192   RR+crp 9722   abscabs 11144   -cn->ccncf 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-cncf 14750

This theorem is referenced by:  mulcncf  14787