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Theorem mulcncflem 12796
Description: Lemma for mulcncf 12797. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcncflem.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
mulcncflem.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
mulcncflem.v  |-  ( ph  ->  V  e.  X )
mulcncflem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
mulcncflem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  RR+ )
mulcncflem.g  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
mulcncflem.s  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
mulcncflem.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
mulcncflem.acn  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F ) )
mulcncflem.bcn  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G ) )
mulcncflem.cn  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G )  ->  ( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E ) )
Assertion
Ref Expression
mulcncflem  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )
Distinct variable groups:    A, d, u    B, d, u    u, V    E, d, u    u, F   
u, G    S, d, u    T, d, u    V, d, x, u    X, d, u, x
Allowed substitution hints:    ph( x, u, d)    A( x)    B( x)    S( x)    T( x)    E( x)    F( x, d)    G( x, d)

Proof of Theorem mulcncflem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcncflem.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
21rpred 9512 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
3 mulcncflem.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
43rpred 9512 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
5 mincl 11033 . . . 4  |-  ( ( S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  -> inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
62, 4, 5syl2anc 409 . . 3  |-  ( ph  -> inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
71rpgt0d 9515 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  S )
83rpgt0d 9515 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  T )
9 0red 7790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
10 ltmininf 11037 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  (
0  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  <->  ( 0  <  S  /\  0  <  T ) ) )
119, 2, 4, 10syl3anc 1217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  <->  ( 0  <  S  /\  0  <  T ) ) )
127, 8, 11mpbir2and 929 . . 3  |-  ( ph  ->  0  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )
)
136, 12elrpd 9509 . 2  |-  ( ph  -> inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
14 simplr 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  z  e.  X )
15 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
16 mulcncflem.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
17 cncff 12770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
19 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
2019fmpt 5577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
2118, 20sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  CC )
22 mulcncflem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
23 cncff 12770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
25 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
2625fmpt 5577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
2724, 26sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
28 r19.26 2561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  X  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  <->  ( A. x  e.  X  A  e.  CC  /\  A. x  e.  X  B  e.  CC ) )
2921, 27, 28sylanbrc 414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
30 mulcl 7770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
3130ralimi 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  X  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A. x  e.  X  ( A  x.  B )  e.  CC )
3229, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( A  x.  B
)  e.  CC )
3332adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A. x  e.  X  ( A  x.  B )  e.  CC )
34 rspcsbela 3063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( A  x.  B )  e.  CC )  ->  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B
)  e.  CC )
3515, 33, 34syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B )  e.  CC )
3635adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B )  e.  CC )
37 eqid 2140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) )
3837fvmpts 5506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 z )  = 
[_ z  /  x ]_ ( A  x.  B
) )
3914, 36, 38syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  z
)  =  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B ) )
40 csbov12g 5817 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  X  ->  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B )  =  ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B
) )
4114, 40syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  [_ z  /  x ]_ ( A  x.  B )  =  ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B
) )
4239, 41eqtrd 2173 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  z
)  =  ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B ) )
43 mulcncflem.v . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  V  e.  X )
4443ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  V  e.  X )
45 rspcsbela 3063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( A  x.  B )  e.  CC )  ->  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B
)  e.  CC )
4643, 32, 45syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B
)  e.  CC )
4746ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B )  e.  CC )
4837fvmpts 5506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  X  /\  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 V )  = 
[_ V  /  x ]_ ( A  x.  B
) )
4944, 47, 48syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
)  =  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B ) )
50 csbov12g 5817 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  X  ->  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B )  =  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B
) )
5144, 50syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  [_ V  /  x ]_ ( A  x.  B )  =  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B
) )
5249, 51eqtrd 2173 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
)  =  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) )
5342, 52oveq12d 5799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) )  =  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B
)  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )
5453fveq2d 5432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 V ) ) )  =  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) ) )
55 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )
56 cncfrss 12768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  X  C_  CC )
5716, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
5857ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  X  C_  CC )
5958, 14sseldd 3102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  z  e.  CC )
6057, 43sseldd 3102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  V  e.  CC )
6160ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  V  e.  CC )
6259, 61subcld 8096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
z  -  V )  e.  CC )
6362abscld 10984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( z  -  V ) )  e.  RR )
642ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  S  e.  RR )
654ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  T  e.  RR )
66 ltmininf 11037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
z  -  V ) )  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  <  T ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  <  T ) ) )
6855, 67mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  <  T ) )
69 mulcncflem.acn . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F ) )
70 fvoveq1 5804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  z  ->  ( abs `  ( u  -  V ) )  =  ( abs `  (
z  -  V ) ) )
7170breq1d 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  (
( abs `  (
u  -  V ) )  <  S  <->  ( abs `  ( z  -  V
) )  <  S
) )
7271imbrov2fvoveq 5806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  (
( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F )  <->  ( ( abs `  ( z  -  V ) )  < 
S  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 z )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  V ) ) )  <  F ) ) )
7372cbvralv 2657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  X  (
( abs `  (
u  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F )  <->  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  V ) )  < 
S  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 z )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  V ) ) )  <  F ) )
7469, 73sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F ) )
7574r19.21bi 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F ) )
7621adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A. x  e.  X  A  e.  CC )
77 rspcsbela 3063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  X  /\  A. x  e.  X  A  e.  CC )  ->  [_ z  /  x ]_ A  e.  CC )
7815, 76, 77syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  [_ z  /  x ]_ A  e.  CC )
7919fvmpts 5506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  X  /\  [_ z  /  x ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  =  [_ z  /  x ]_ A
)
8015, 78, 79syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  z
)  =  [_ z  /  x ]_ A )
8143adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  V  e.  X )
82 rspcsbela 3063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  X  /\  A. x  e.  X  A  e.  CC )  ->  [_ V  /  x ]_ A  e.  CC )
8381, 76, 82syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  [_ V  /  x ]_ A  e.  CC )
8419fvmpts 5506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  X  /\  [_ V  /  x ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  V )  =  [_ V  /  x ]_ A
)
8581, 83, 84syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
)  =  [_ V  /  x ]_ A )
8680, 85oveq12d 5799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) )  =  (
[_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )
8786fveq2d 5432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  -  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 V ) ) )  =  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) ) )
8887breq1d 3946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  A ) `  V
) ) )  < 
F  <->  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F ) )
8975, 88sylibd 148 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  -> 
( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F ) )
90 mulcncflem.bcn . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G ) )
9170breq1d 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  (
( abs `  (
u  -  V ) )  <  T  <->  ( abs `  ( z  -  V
) )  <  T
) )
9291imbrov2fvoveq 5806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  (
( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G )  <->  ( ( abs `  ( z  -  V ) )  < 
T  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 z )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  V ) ) )  <  G ) ) )
9392cbvralv 2657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  X  (
( abs `  (
u  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G )  <->  A. z  e.  X  ( ( abs `  ( z  -  V ) )  < 
T  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 z )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  V ) ) )  <  G ) )
9490, 93sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G ) )
9594r19.21bi 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G ) )
9627adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
97 rspcsbela 3063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  X  /\  A. x  e.  X  B  e.  CC )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  CC )
9815, 96, 97syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  CC )
9925fvmpts 5506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  X  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  =  [_ z  /  x ]_ B
)
10015, 98, 99syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  z
)  =  [_ z  /  x ]_ B )
101 rspcsbela 3063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  X  /\  A. x  e.  X  B  e.  CC )  ->  [_ V  /  x ]_ B  e.  CC )
10281, 96, 101syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  [_ V  /  x ]_ B  e.  CC )
10325fvmpts 5506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  X  /\  [_ V  /  x ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  V )  =  [_ V  /  x ]_ B
)
10481, 102, 103syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
)  =  [_ V  /  x ]_ B )
105100, 104oveq12d 5799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) )  =  (
[_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )
106105fveq2d 5432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  -  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 V ) ) )  =  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B
) ) )
107106breq1d 3946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  B ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  B ) `  V
) ) )  < 
G  <->  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G ) )
10895, 107sylibd 148 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  <  T  -> 
( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G ) )
10989, 108anim12d 333 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  <  T )  -> 
( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G ) ) )
110109adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  V ) )  <  S  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  <  T )  -> 
( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G ) ) )
11168, 110mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G ) )
112 mulcncflem.cn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G )  ->  ( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E ) )
113 csbeq1 3009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  [_ u  /  x ]_ A  = 
[_ z  /  x ]_ A )
114113fvoveq1d 5803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  =  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) ) )
115114breq1d 3946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  <->  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F
) )
116 csbeq1 3009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  [_ u  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
117116fvoveq1d 5803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  =  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) ) )
118117breq1d 3946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G  <->  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B
) )  <  G
) )
119115, 118anbi12d 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G )  <->  ( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  < 
F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B
) )  <  G
) ) )
120113, 116oveq12d 5799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  =  ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B ) )
121120fvoveq1d 5803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  ( abs `  ( ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  =  ( abs `  ( (
[_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) ) )
122121breq1d 3946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
) )
123119, 122imbi12d 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( ( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G )  ->  ( abs `  (
( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E )  <->  ( (
( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G )  ->  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
) ) )
124123cbvralv 2657 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  X  (
( ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ u  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G )  ->  ( abs `  ( ( [_ u  /  x ]_ A  x.  [_ u  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
)  <->  A. z  e.  X  ( ( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G )  ->  ( abs `  (
( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E ) )
125112, 124sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A
) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  <  G )  ->  ( abs `  (
( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E ) )
126125r19.21bi 2523 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G )  ->  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
) )
127126adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ A  -  [_ V  /  x ]_ A ) )  <  F  /\  ( abs `  ( [_ z  /  x ]_ B  -  [_ V  /  x ]_ B ) )  < 
G )  ->  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
) )
128111, 127mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( ( [_ z  /  x ]_ A  x.  [_ z  /  x ]_ B )  -  ( [_ V  /  x ]_ A  x.  [_ V  /  x ]_ B ) ) )  <  E
)
12954, 128eqbrtrd 3957 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( abs `  ( z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 V ) ) )  <  E )
130129ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )
131130ralrimiva 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )
132 fvoveq1 5804 . . . . . 6  |-  ( z  =  u  ->  ( abs `  ( z  -  V ) )  =  ( abs `  (
u  -  V ) ) )
133132breq1d 3946 . . . . 5  |-  ( z  =  u  ->  (
( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  <->  ( abs `  ( u  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  ) ) )
134133imbrov2fvoveq 5806 . . . 4  |-  ( z  =  u  ->  (
( ( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E )  <->  ( ( abs `  ( u  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  V ) ) )  <  E ) ) )
135134cbvralv 2657 . . 3  |-  ( A. z  e.  X  (
( abs `  (
z  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  z )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E )  <->  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  V ) ) )  <  E ) )
136131, 135sylib 121 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )
137 breq2 3940 . . 3  |-  ( d  = inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  (
( abs `  (
u  -  V ) )  <  d  <->  ( abs `  ( u  -  V
) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )
) )
138137rspceaimv 2800 . 2  |-  ( (inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  A. u  e.  X  (
( abs `  (
u  -  V ) )  < inf ( { S ,  T } ,  RR ,  <  )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  ( u  -  V ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `
 u )  -  ( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  V ) ) )  <  E ) )
13913, 136, 138syl2anc 409 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  X  ( ( abs `  (
u  -  V ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  X  |->  ( A  x.  B ) ) `  u )  -  (
( x  e.  X  |->  ( A  x.  B
) ) `  V
) ) )  < 
E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   [_csb 3006    C_ wss 3075   {cpr 3532   class class class wbr 3936    |-> cmpt 3996   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781  infcinf 6877   CCcc 7641   RRcr 7642   0cc0 7643    x. cmul 7648    < clt 7823    - cmin 7956   RR+crp 9469   abscabs 10800   -cn->ccncf 12763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-map 6551  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-cncf 12764
This theorem is referenced by:  mulcncf  12797
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