Theorem mulcncflem 13469

Description: Lemma for mulcncf 13470. (Contributed by Jim Kingdon, 29-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcncflem.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
mulcncflem.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
mulcncflem.v	|- ( ph -> V e. X )
mulcncflem.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
mulcncflem.f	|- ( ph -> F e. RR+ )
mulcncflem.g	|- ( ph -> G e. RR+ )
mulcncflem.s	|- ( ph -> S e. RR+ )
mulcncflem.t	|- ( ph -> T e. RR+ )
mulcncflem.acn	|- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
mulcncflem.bcn	|- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
mulcncflem.cn	|- ( ph -> A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )

Assertion

Ref	Expression
mulcncflem	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )

Distinct variable groups:   A, d, u   B, d, u   u, V   E, d, u   u, F   u, G   S, d, u   T, d, u   V, d, x, u   X, d, u, x

Allowed substitution hints:   ph( x, u, d)   A( x)   B( x)   S( x)   T( x)   E( x)   F( x, d)   G( x, d)

Proof of Theorem mulcncflem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcncflem.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. RR+ )
2	1	rpred 9657	. . . 4 |- ( ph -> S e. RR )
3		mulcncflem.t	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR+ )
4	3	rpred 9657	. . . 4 |- ( ph -> T e. RR )
5		mincl 11198	. . . 4 |- ( ( S e. RR /\ T e. RR ) -> inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR )
6	2, 4, 5	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR )
7	1	rpgt0d 9660	. . . 4 |- ( ph -> 0 < S )
8	3	rpgt0d 9660	. . . 4 |- ( ph -> 0 < T )
9		0red 7925	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. RR )
10		ltmininf 11202	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ S e. RR /\ T e. RR ) -> ( 0 < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( 0 < S /\ 0 < T ) ) )
11	9, 2, 4, 10	syl3anc 1234	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( 0 < S /\ 0 < T ) ) )
12	7, 8, 11	mpbir2and 940	. . 3 |- ( ph -> 0 < inf ( { S , T } , RR , < ) )
13	6, 12	elrpd 9654	. 2 |- ( ph -> inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR+ )
14		simplr 526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> z e. X )
15		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. X )
16		mulcncflem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) )
17		cncff 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
19		eqid 2171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
20	19	fmpt 5650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. X A e. CC <-> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
21	18, 20	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A e. CC )
22		mulcncflem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) )
23		cncff 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( X -cn-> CC ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
25		eqid 2171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
26	25	fmpt 5650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
27	24, 26	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X B e. CC )
28		r19.26 2597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. X ( A e. CC /\ B e. CC ) <-> ( A. x e. X A e. CC /\ A. x e. X B e. CC ) )
29	21, 27, 28	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. X ( A e. CC /\ B e. CC ) )
30		mulcl 7905	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
31	30	ralimi 2534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. X ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A. x e. X ( A x. B ) e. CC )
32	29, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. X ( A x. B ) e. CC )
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X ( A x. B ) e. CC )
34		rspcsbela 3109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. X /\ A. x e. X ( A x. B ) e. CC ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
35	15, 33, 34	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
36	35	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
37		eqid 2171	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X |-> ( A x. B ) ) = ( x e. X |-> ( A x. B ) )
38	37	fvmpts 5578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X /\ [_ z / x ]_ ( A x. B ) e. CC ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) = [_ z / x ]_ ( A x. B ) )
39	14, 36, 38	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) = [_ z / x ]_ ( A x. B ) )
40		csbov12g 5896	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. X -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
41	14, 40	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ z / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
42	39, 41	eqtrd 2204	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
43		mulcncflem.v	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> V e. X )
44	43	ad2antrr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> V e. X )
45		rspcsbela 3109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. X /\ A. x e. X ( A x. B ) e. CC ) -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
46	43, 32, 45	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
47	46	ad2antrr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC )
48	37	fvmpts 5578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. X /\ [_ V / x ]_ ( A x. B ) e. CC ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) = [_ V / x ]_ ( A x. B ) )
49	44, 47, 48	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) = [_ V / x ]_ ( A x. B ) )
50		csbov12g 5896	. . . . . . . . . 10 |- ( V e. X -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) )
51	44, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> [_ V / x ]_ ( A x. B ) = ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) )
52	49, 51	eqtrd 2204	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) = ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) )
53	42, 52	oveq12d 5875	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) = ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) )
54	53	fveq2d 5503	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) )
55		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) )
56		cncfrss 13441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( X -cn-> CC ) -> X C_ CC )
57	16, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X C_ CC )
58	57	ad2antrr 486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> X C_ CC )
59	58, 14	sseldd 3149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> z e. CC )
60	57, 43	sseldd 3149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V e. CC )
61	60	ad2antrr 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> V e. CC )
62	59, 61	subcld 8234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( z - V ) e. CC )
63	62	abscld 11149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( z - V ) ) e. RR )
64	2	ad2antrr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> S e. RR )
65	4	ad2antrr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> T e. RR )
66		ltmininf 11202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( z - V ) ) e. RR /\ S e. RR /\ T e. RR ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) ) )
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) ) )
68	55, 67	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) )
69		mulcncflem.acn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
70		fvoveq1 5880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = z -> ( abs ` ( u - V ) ) = ( abs ` ( z - V ) ) )
71	70	breq1d 4000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( u - V ) ) < S <-> ( abs ` ( z - V ) ) < S ) )
72	71	imbrov2fvoveq 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) ) )
73	72	cbvralv 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` u ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) <-> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
74	69, 73	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
75	74	r19.21bi 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F ) )
76	21	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X A e. CC )
77		rspcsbela 3109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ z / x ]_ A e. CC )
78	15, 76, 77	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ z / x ]_ A e. CC )
79	19	fvmpts 5578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. X /\ [_ z / x ]_ A e. CC ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` z ) = [_ z / x ]_ A )
80	15, 78, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` z ) = [_ z / x ]_ A )
81	43	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> V e. X )
82		rspcsbela 3109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. X /\ A. x e. X A e. CC ) -> [_ V / x ]_ A e. CC )
83	81, 76, 82	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ V / x ]_ A e. CC )
84	19	fvmpts 5578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. X /\ [_ V / x ]_ A e. CC ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` V ) = [_ V / x ]_ A )
85	81, 83, 84	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` V ) = [_ V / x ]_ A )
86	80, 85	oveq12d 5875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) = ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) )
87	86	fveq2d 5503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) )
88	87	breq1d 4000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( ( ( x e. X |-> A ) ` z ) - ( ( x e. X |-> A ) ` V ) ) ) < F <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F ) )
89	75, 88	sylibd 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < S -> ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F ) )
90		mulcncflem.bcn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
91	70	breq1d 4000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( u - V ) ) < T <-> ( abs ` ( z - V ) ) < T ) )
92	91	imbrov2fvoveq 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) <-> ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) ) )
93	92	cbvralv 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` u ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) <-> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
94	90, 93	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
95	94	r19.21bi 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G ) )
96	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X B e. CC )
97		rspcsbela 3109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ z / x ]_ B e. CC )
98	15, 96, 97	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ z / x ]_ B e. CC )
99	25	fvmpts 5578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. X /\ [_ z / x ]_ B e. CC ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` z ) = [_ z / x ]_ B )
100	15, 98, 99	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` z ) = [_ z / x ]_ B )
101		rspcsbela 3109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. X /\ A. x e. X B e. CC ) -> [_ V / x ]_ B e. CC )
102	81, 96, 101	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> [_ V / x ]_ B e. CC )
103	25	fvmpts 5578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. X /\ [_ V / x ]_ B e. CC ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` V ) = [_ V / x ]_ B )
104	81, 102, 103	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` V ) = [_ V / x ]_ B )
105	100, 104	oveq12d 5875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) = ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) )
106	105	fveq2d 5503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) )
107	106	breq1d 4000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( ( ( x e. X |-> B ) ` z ) - ( ( x e. X |-> B ) ` V ) ) ) < G <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
108	95, 107	sylibd 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < T -> ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
109	89, 108	anim12d 333	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) -> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) ) )
110	109	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - V ) ) < S /\ ( abs ` ( z - V ) ) < T ) -> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) ) )
111	68, 110	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
112		mulcncflem.cn	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
113		csbeq1 3053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> [_ u / x ]_ A = [_ z / x ]_ A )
114	113	fvoveq1d 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) )
115	114	breq1d 4000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F ) )
116		csbeq1 3053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> [_ u / x ]_ B = [_ z / x ]_ B )
117	116	fvoveq1d 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) = ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) )
118	117	breq1d 4000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G <-> ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) )
119	115, 118	anbi12d 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) <-> ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) ) )
120	113, 116	oveq12d 5875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) = ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) )
121	120	fvoveq1d 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) = ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) )
122	121	breq1d 4000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E <-> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
123	119, 122	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> ( ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) <-> ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) ) )
124	123	cbvralv 2697	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. X ( ( ( abs ` ( [_ u / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ u / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ u / x ]_ A x. [_ u / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) <-> A. z e. X ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
125	112, 124	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. z e. X ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
126	125	r19.21bi 2559	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
127	126	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( ( ( abs ` ( [_ z / x ]_ A - [_ V / x ]_ A ) ) < F /\ ( abs ` ( [_ z / x ]_ B - [_ V / x ]_ B ) ) < G ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E ) )
128	111, 127	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( [_ z / x ]_ A x. [_ z / x ]_ B ) - ( [_ V / x ]_ A x. [_ V / x ]_ B ) ) ) < E )
129	54, 128	eqbrtrd 4012	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E )
130	129	ex 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
131	130	ralrimiva 2544	. . 3 |- ( ph -> A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
132		fvoveq1 5880	. . . . . 6 |- ( z = u -> ( abs ` ( z - V ) ) = ( abs ` ( u - V ) ) )
133	132	breq1d 4000	. . . . 5 |- ( z = u -> ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) <-> ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) )
134	133	imbrov2fvoveq 5882	. . . 4 |- ( z = u -> ( ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) <-> ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) ) )
135	134	cbvralv 2697	. . 3 |- ( A. z e. X ( ( abs ` ( z - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` z ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) <-> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
136	131, 135	sylib 121	. 2 |- ( ph -> A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
137		breq2 3994	. . 3 |- ( d = inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( ( abs ` ( u - V ) ) < d <-> ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) ) )
138	137	rspceaimv 2843	. 2 |- ( (inf ( { S , T } , RR , < ) e. RR+ /\ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < inf ( { S , T } , RR , < ) -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )
139	13, 136, 138	syl2anc 409	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. X ( ( abs ` ( u - V ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` u ) - ( ( x e. X |-> ( A x. B ) ) ` V ) ) ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1349   e. wcel 2142   A.wral 2449   E.wrex 2450   [_csb 3050   C_ wss 3122   {cpr 3585   class class class wbr 3990   |-> cmpt 4051   -->wf 5196   ` cfv 5200  (class class class)co 5857  infcinf 6964   CCcc 7776   RRcr 7777   0cc0 7778   x. cmul 7783   < clt 7958   - cmin 8094   RR+crp 9614   abscabs 10965   -cn->ccncf 13436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896  ax-arch 7897  ax-caucvg 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-isom 5209  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-frec 6374  df-map 6632  df-sup 6965  df-inf 6966  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-2 8941  df-3 8942  df-4 8943  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-rp 9615  df-seqfrec 10406  df-exp 10480  df-cj 10810  df-re 10811  df-im 10812  df-rsqrt 10966  df-abs 10967  df-cncf 13437

This theorem is referenced by:  mulcncf  13470