Theorem cnconst 14470

Description: A constant function is continuous. (Contributed by FL, 15-Jan-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnconst	|- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( B e. Y /\ F : X --> { B } ) ) -> F e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst2g 5777	. . . 4 |- ( B e. Y -> ( F : X --> { B } <-> F = ( X X. { B } ) ) )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( F : X --> { B } <-> F = ( X X. { B } ) ) )
3		cnconst2 14469	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )
4	3	3expa 1205	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )
5		eleq1 2259	. . . 4 |- ( F = ( X X. { B } ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) ) )
6	4, 5	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( F = ( X X. { B } ) -> F e. ( J Cn K ) ) )
7	2, 6	sylbid 150	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( F : X --> { B } -> F e. ( J Cn K ) ) )
8	7	impr 379	1 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( B e. Y /\ F : X --> { B } ) ) -> F e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {csn 3622   X. cxp 4661   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922  TopOnctopon 14246   Cn ccn 14421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-topgen 12931  df-top 14234  df-topon 14247  df-cn 14424  df-cnp 14425

This theorem is referenced by: (None)