Theorem cnconst 14171

Description: A constant function is continuous. (Contributed by FL, 15-Jan-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnconst	|- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( B e. Y /\ F : X --> { B } ) ) -> F e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst2g 5748	. . . 4 |- ( B e. Y -> ( F : X --> { B } <-> F = ( X X. { B } ) ) )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( F : X --> { B } <-> F = ( X X. { B } ) ) )
3		cnconst2 14170	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )
4	3	3expa 1205	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )
5		eleq1 2252	. . . 4 |- ( F = ( X X. { B } ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) ) )
6	4, 5	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( F = ( X X. { B } ) -> F e. ( J Cn K ) ) )
7	2, 6	sylbid 150	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ B e. Y ) -> ( F : X --> { B } -> F e. ( J Cn K ) ) )
8	7	impr 379	1 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( B e. Y /\ F : X --> { B } ) ) -> F e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   {csn 3607   X. cxp 4639   -->wf 5228   ` cfv 5232  (class class class)co 5892  TopOnctopon 13947   Cn ccn 14122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-map 6671  df-topgen 12758  df-top 13935  df-topon 13948  df-cn 14125  df-cnp 14126

This theorem is referenced by: (None)