Theorem cnconst 14951

Description: A constant function is continuous. (Contributed by FL, 15-Jan-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnconst	⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ (𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹:𝑋⟶{𝐵})) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst2g 5864	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → (𝐹:𝑋⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝑋 × {𝐵})))
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐹:𝑋⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝑋 × {𝐵})))
3		cnconst2 14950	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝑋 × {𝐵}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4	3	3expa 1227	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝑋 × {𝐵}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		eleq1 2292	. . . 4 ⊢ (𝐹 = (𝑋 × {𝐵}) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑋 × {𝐵}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
6	4, 5	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐹 = (𝑋 × {𝐵}) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
7	2, 6	sylbid 150	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐹:𝑋⟶{𝐵} → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
8	7	impr 379	1 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ (𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹:𝑋⟶{𝐵})) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3667   × cxp 4721  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  TopOnctopon 14727   Cn ccn 14902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-topgen 13336  df-top 14715  df-topon 14728  df-cn 14905  df-cnp 14906

This theorem is referenced by: (None)