Theorem cnconst2 14469

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnconst2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnconst2

Dummy variables x u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5456	. . 3 |- ( B e. Y -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
2	1	3ad2ant3 1022	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
4		simpll3 1040	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> B e. Y )
5		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> x e. X )
6		fvconst2g 5776	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. Y /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) ` x ) = B )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( X X. { B } ) ` x ) = B )
8	7	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y <-> B e. y ) )
9		simpll1 1038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10		toponmax 14261	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> X e. J )
12		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> x e. X )
13		df-ima 4676	. . . . . . . . 9 |- ( ( X X. { B } ) " X ) = ran ( ( X X. { B } ) |` X )
14		ssid 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- X C_ X
15		xpssres 4981	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X C_ X -> ( ( X X. { B } ) |` X ) = ( X X. { B } ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X X. { B } ) |` X ) = ( X X. { B } )
17	16	rneqi 4894	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( ( X X. { B } ) |` X ) = ran ( X X. { B } )
18		rnxpss 5101	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( X X. { B } ) C_ { B }
19	17, 18	eqsstri 3215	. . . . . . . . . 10 |- ran ( ( X X. { B } ) |` X ) C_ { B }
20		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> B e. y )
21	20	snssd 3767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> { B } C_ y )
22	19, 21	sstrid 3194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> ran ( ( X X. { B } ) |` X ) C_ y )
23	13, 22	eqsstrid 3229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y )
24		eleq2 2260	. . . . . . . . . 10 |- ( u = X -> ( x e. u <-> x e. X ) )
25		imaeq2 5005	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = X -> ( ( X X. { B } ) " u ) = ( ( X X. { B } ) " X ) )
26	25	sseq1d 3212	. . . . . . . . . 10 |- ( u = X -> ( ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y <-> ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) )
27	24, 26	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) <-> ( x e. X /\ ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) ) )
28	27	rspcev 2868	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. J /\ ( x e. X /\ ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) )
29	11, 12, 23, 28	syl12anc 1247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) )
30	29	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( B e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
31	8, 30	sylbid 150	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
32	31	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
33		simpl1 1002	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
34		simpl2 1003	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
35		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> x e. X )
36		iscnp 14435	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) ) ) )
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) ) ) )
38	3, 32, 37	mpbir2and 946	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
39	38	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
40		cncnp 14466	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
41	40	3adant3 1019	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
42	2, 39, 41	mpbir2and 946	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   {csn 3622   X. cxp 4661   ran crn 4664   |` cres 4665   "cima 4666   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922  TopOnctopon 14246   Cn ccn 14421   CnP ccnp 14422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-topgen 12931  df-top 14234  df-topon 14247  df-cn 14424  df-cnp 14425

This theorem is referenced by:  cnconst  14470  cnmptc  14518