Theorem cnconst2 13027

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnconst2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnconst2

Dummy variables x u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5396	. . 3 |- ( B e. Y -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
2	1	3ad2ant3 1015	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
3	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
4		simpll3 1033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> B e. Y )
5		simplr 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> x e. X )
6		fvconst2g 5710	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. Y /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) ` x ) = B )
7	4, 5, 6	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( X X. { B } ) ` x ) = B )
8	7	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y <-> B e. y ) )
9		simpll1 1031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10		toponmax 12817	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> X e. J )
12		simplr 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> x e. X )
13		df-ima 4624	. . . . . . . . 9 |- ( ( X X. { B } ) " X ) = ran ( ( X X. { B } ) |` X )
14		ssid 3167	. . . . . . . . . . . . 13 |- X C_ X
15		xpssres 4926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X C_ X -> ( ( X X. { B } ) |` X ) = ( X X. { B } ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X X. { B } ) |` X ) = ( X X. { B } )
17	16	rneqi 4839	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( ( X X. { B } ) |` X ) = ran ( X X. { B } )
18		rnxpss 5042	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( X X. { B } ) C_ { B }
19	17, 18	eqsstri 3179	. . . . . . . . . 10 |- ran ( ( X X. { B } ) |` X ) C_ { B }
20		simprr 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> B e. y )
21	20	snssd 3725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> { B } C_ y )
22	19, 21	sstrid 3158	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> ran ( ( X X. { B } ) |` X ) C_ y )
23	13, 22	eqsstrid 3193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y )
24		eleq2 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( u = X -> ( x e. u <-> x e. X ) )
25		imaeq2 4949	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = X -> ( ( X X. { B } ) " u ) = ( ( X X. { B } ) " X ) )
26	25	sseq1d 3176	. . . . . . . . . 10 |- ( u = X -> ( ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y <-> ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) )
27	24, 26	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) <-> ( x e. X /\ ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) ) )
28	27	rspcev 2834	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. J /\ ( x e. X /\ ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) )
29	11, 12, 23, 28	syl12anc 1231	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) )
30	29	expr 373	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( B e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
31	8, 30	sylbid 149	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
32	31	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
33		simpl1 995	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
34		simpl2 996	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
35		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> x e. X )
36		iscnp 12993	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) ) ) )
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) ) ) )
38	3, 32, 37	mpbir2and 939	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
39	38	ralrimiva 2543	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
40		cncnp 13024	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
41	40	3adant3 1012	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
42	2, 39, 41	mpbir2and 939	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   {csn 3583   X. cxp 4609   ran crn 4612   |` cres 4613   "cima 4614   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979   CnP ccnp 12980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-cn 12982  df-cnp 12983

This theorem is referenced by:  cnconst  13028  cnmptc  13076