Theorem cnconst2 15257

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnconst2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnconst2

Dummy variables x u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5586	. . 3 |- ( B e. Y -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
2	1	3ad2ant3 1051	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( X X. { B } ) : X --> Y )
4		simpll3 1069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> B e. Y )
5		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> x e. X )
6		fvconst2g 5920	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. Y /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) ` x ) = B )
7	4, 5, 6	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( X X. { B } ) ` x ) = B )
8	7	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y <-> B e. y ) )
9		simpll1 1067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10		toponmax 15049	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> X e. J )
12		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> x e. X )
13		df-ima 4782	. . . . . . . . 9 |- ( ( X X. { B } ) " X ) = ran ( ( X X. { B } ) |` X )
14		ssid 3268	. . . . . . . . . . . . 13 |- X C_ X
15		xpssres 5093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X C_ X -> ( ( X X. { B } ) |` X ) = ( X X. { B } ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X X. { B } ) |` X ) = ( X X. { B } )
17	16	rneqi 5005	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( ( X X. { B } ) |` X ) = ran ( X X. { B } )
18		rnxpss 5214	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( X X. { B } ) C_ { B }
19	17, 18	eqsstri 3280	. . . . . . . . . 10 |- ran ( ( X X. { B } ) |` X ) C_ { B }
20		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> B e. y )
21	20	snssd 3855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> { B } C_ y )
22	19, 21	sstrid 3259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> ran ( ( X X. { B } ) |` X ) C_ y )
23	13, 22	eqsstrid 3294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y )
24		eleq2 2302	. . . . . . . . . 10 |- ( u = X -> ( x e. u <-> x e. X ) )
25		imaeq2 5117	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = X -> ( ( X X. { B } ) " u ) = ( ( X X. { B } ) " X ) )
26	25	sseq1d 3277	. . . . . . . . . 10 |- ( u = X -> ( ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y <-> ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) )
27	24, 26	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) <-> ( x e. X /\ ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) ) )
28	27	rspcev 2929	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. J /\ ( x e. X /\ ( ( X X. { B } ) " X ) C_ y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) )
29	11, 12, 23, 28	syl12anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ ( y e. K /\ B e. y ) ) -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) )
30	29	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( B e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
31	8, 30	sylbid 150	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) /\ y e. K ) -> ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
32	31	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) )
33		simpl1 1031	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
34		simpl2 1032	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
35		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> x e. X )
36		iscnp 15223	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) ) ) )
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. y e. K ( ( ( X X. { B } ) ` x ) e. y -> E. u e. J ( x e. u /\ ( ( X X. { B } ) " u ) C_ y ) ) ) ) )
38	3, 32, 37	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) /\ x e. X ) -> ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
39	38	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
40		cncnp 15254	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
41	40	3adant3 1048	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) <-> ( ( X X. { B } ) : X --> Y /\ A. x e. X ( X X. { B } ) e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
42	2, 39, 41	mpbir2and 957	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. Y ) -> ( X X. { B } ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   {csn 3705   X. cxp 4767   ran crn 4770   |` cres 4771   "cima 4772   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075  TopOnctopon 15034   Cn ccn 15209   CnP ccnp 15210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-topgen 13591  df-top 15022  df-topon 15035  df-cn 15212  df-cnp 15213

This theorem is referenced by:  cnconst  15258  cnmptc  15306