Theorem dfgrp2e 13230

Description: Alternate definition of a group as a set with a closed, associative operation, a left identity and a left inverse for each element. Alternate definition in [Lang] p. 7. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (Revised by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
dfgrp2.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dfgrp2e	⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑛 + 𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑥) = 𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑛,𝑥   𝑖,𝐺,𝑛,𝑥   + ,𝑖,𝑛,𝑥   𝑦,𝐵,𝑧,𝑥   𝑦,𝐺,𝑧   𝑦, + ,𝑧

Proof of Theorem dfgrp2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfgrp2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		dfgrp2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3	1, 2	dfgrp2 13229	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑛 + 𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑥) = 𝑛)))
4		rexm 3551	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑛 + 𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑥) = 𝑛) → ∃𝑛 𝑛 ∈ 𝐵)
5	1	basmex 12762	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
6	5	exlimiv 1612	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 𝑛 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
7	1, 2	issgrpv 13106	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ Smgrp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))))
8	4, 6, 7	3syl 17	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑛 + 𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑥) = 𝑛) → (𝐺 ∈ Smgrp ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))))
9	8	pm5.32ri 455	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑛 + 𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑥) = 𝑛)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑛 + 𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑥) = 𝑛)))
10	3, 9	bitri 184	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑛 + 𝑥) = 𝑥 ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐵 (𝑖 + 𝑥) = 𝑛)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  Vcvv 2763  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  Smgrpcsgrp 13103  Grpcgrp 13202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205

This theorem is referenced by: (None)