Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negiso Unicode version

Theorem negiso 8725
 Description: Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negiso.1
Assertion
Ref Expression
negiso

Proof of Theorem negiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negiso.1 . . . . . 6
2 simpr 109 . . . . . . 7
32renegcld 8154 . . . . . 6
4 simpr 109 . . . . . . 7
54renegcld 8154 . . . . . 6
6 recn 7765 . . . . . . . 8
7 recn 7765 . . . . . . . 8
8 negcon2 8027 . . . . . . . 8
96, 7, 8syl2an 287 . . . . . . 7
109adantl 275 . . . . . 6
111, 3, 5, 10f1ocnv2d 5974 . . . . 5
1211mptru 1340 . . . 4
1312simpli 110 . . 3
14 simpl 108 . . . . . . . 8
1514recnd 7806 . . . . . . 7
1615negcld 8072 . . . . . 6
177adantl 275 . . . . . . 7
1817negcld 8072 . . . . . 6
19 brcnvg 4720 . . . . . 6
2016, 18, 19syl2anc 408 . . . . 5
211a1i 9 . . . . . . 7
22 negeq 7967 . . . . . . . 8
2322adantl 275 . . . . . . 7
2421, 23, 14, 16fvmptd 5502 . . . . . 6
25 negeq 7967 . . . . . . . 8
2625adantl 275 . . . . . . 7
27 simpr 109 . . . . . . 7
2821, 26, 27, 18fvmptd 5502 . . . . . 6
2924, 28breq12d 3942 . . . . 5
30 ltneg 8236 . . . . 5
3120, 29, 303bitr4rd 220 . . . 4
3231rgen2a 2486 . . 3
33 df-isom 5132 . . 3
3413, 32, 33mpbir2an 926 . 2
35 negeq 7967 . . . 4
3635cbvmptv 4024 . . 3
3712simpri 112 . . 3
3836, 37, 13eqtr4i 2170 . 2
3934, 38pm3.2i 270 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wb 104   wceq 1331   wtru 1332   wcel 1480  wral 2416   class class class wbr 3929   cmpt 3989  ccnv 4538  wf1o 5122  cfv 5123   wiso 5124  cc 7630  cr 7631   clt 7812  cneg 7946 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltadd 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-ltxr 7817  df-sub 7947  df-neg 7948 This theorem is referenced by:  infrenegsupex  9401
 Copyright terms: Public domain W3C validator