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Theorem disjiun 3840
Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjiun ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem disjiun
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 3823 . . . 4 (Disj 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)
2 elin 3183 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (𝑦 𝑥𝐶 𝐵𝑦 𝑥𝐷 𝐵))
3 eliun 3734 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐶 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵)
4 eliun 3734 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐷 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)
53, 4anbi12i 448 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝑥𝐶 𝐵𝑦 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵))
62, 5bitri 182 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵))
7 nfv 1466 . . . . . . . . . . . 12 𝑤 𝑦𝐵
87rmo3 2930 . . . . . . . . . . 11 (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤))
9 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵)
10 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑢 𝑦𝐵
11 nfcsb1v 2963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑢 / 𝑥𝐵
1211nfcri 2222 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
13 csbeq1a 2941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
1413eleq2d 2157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (𝑦𝐵𝑦𝑢 / 𝑥𝐵))
1510, 12, 14cbvrex 2587 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑢𝐶 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
169, 15sylib 120 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → ∃𝑢𝐶 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
17 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) → ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)
18 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑣 𝑦𝐵
19 nfcsb1v 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑣 / 𝑥𝐵
2019nfcri 2222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑦𝑣 / 𝑥𝐵
21 csbeq1a 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣𝐵 = 𝑣 / 𝑥𝐵)
2221eleq2d 2157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → (𝑦𝐵𝑦𝑣 / 𝑥𝐵))
2318, 20, 22cbvrex 2587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑥𝐷 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑣𝐷 𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)
2417, 23sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) → ∃𝑣𝐷 𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)
25 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑢𝐶)
26 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐶𝐴)
2726ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝐶𝐴)
2827, 25sseldd 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑢𝐴)
29 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐷𝐴)
3029ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝐷𝐴)
31 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑣𝐷)
3230, 31sseldd 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑣𝐴)
3328, 32jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
34 simp-4l 508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤))
35 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
36 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)
3720, 22sbie 1721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ([𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)
3836, 37sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵)
3935, 38jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → (𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵))
40 nfs1v 1863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥[𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵
4112, 40nfan 1502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵)
42 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 𝑢 = 𝑤
4341, 42nfim 1509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑤)
44 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑣)
4514anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) ↔ (𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵)))
46 equequ1 1645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 𝑤𝑢 = 𝑤))
4745, 46imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑢 → (((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑤)))
48 sbequ 1768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑣 → ([𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵 ↔ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵))
4948anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑣 → ((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) ↔ (𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵)))
50 equequ2 1646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑣 → (𝑢 = 𝑤𝑢 = 𝑣))
5149, 50imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑣 → (((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑤) ↔ ((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑣)))
5243, 44, 47, 51rspc2 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) → ((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑣)))
5333, 34, 39, 52syl3c 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑢 = 𝑣)
5453, 31eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑢𝐷)
55 inelcm 3343 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝐶𝑢𝐷) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)
5625, 54, 55syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)
5724, 56rexlimddv 2493 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)
5816, 57rexlimddv 2493 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)
5958exp31 356 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) → ((𝐶𝐴𝐷𝐴) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)))
608, 59sylbi 119 . . . . . . . . . 10 (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ((𝐶𝐴𝐷𝐴) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)))
6160impcom 123 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
626, 61syl5bi 150 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
6362necon2bd 2313 . . . . . . 7 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ((𝐶𝐷) = ∅ → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
6463impancom 256 . . . . . 6 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
65643impa 1138 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
6665alimdv 1807 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
671, 66syl5bi 150 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (Disj 𝑥𝐴 𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
6867impcom 123 . 2 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵))
69 eq0 3301 . 2 (( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵))
7068, 69sylibr 132 1 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  w3a 924  wal 1287   = wceq 1289  wcel 1438  [wsb 1692  wne 2255  wral 2359  wrex 2360  ∃*wrmo 2362  csb 2933  cin 2998  wss 2999  c0 3286   ciun 3730  Disj wdisj 3822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rmo 2367  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-iun 3732  df-disj 3823
This theorem is referenced by:  iunfidisj  6655  fsumiun  10871
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