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Theorem disjiun 3956
 Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjiun ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem disjiun
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 3939 . . . 4 (Disj 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)
2 elin 3286 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (𝑦 𝑥𝐶 𝐵𝑦 𝑥𝐷 𝐵))
3 eliun 3849 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐶 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵)
4 eliun 3849 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐷 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)
53, 4anbi12i 456 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝑥𝐶 𝐵𝑦 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵))
62, 5bitri 183 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) ↔ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵))
7 nfv 1505 . . . . . . . . . . . 12 𝑤 𝑦𝐵
87rmo3 3024 . . . . . . . . . . 11 (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤))
9 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → ∃𝑥𝐶 𝑦𝐵)
10 nfv 1505 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑢 𝑦𝐵
11 nfcsb1v 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑢 / 𝑥𝐵
1211nfcri 2290 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
13 csbeq1a 3036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
1413eleq2d 2224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (𝑦𝐵𝑦𝑢 / 𝑥𝐵))
1510, 12, 14cbvrex 2674 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑢𝐶 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
169, 15sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → ∃𝑢𝐶 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
17 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) → ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)
18 nfv 1505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑣 𝑦𝐵
19 nfcsb1v 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑣 / 𝑥𝐵
2019nfcri 2290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑦𝑣 / 𝑥𝐵
21 csbeq1a 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣𝐵 = 𝑣 / 𝑥𝐵)
2221eleq2d 2224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → (𝑦𝐵𝑦𝑣 / 𝑥𝐵))
2318, 20, 22cbvrex 2674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑥𝐷 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑣𝐷 𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)
2417, 23sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) → ∃𝑣𝐷 𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)
25 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑢𝐶)
26 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐶𝐴)
2726ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝐶𝐴)
2827, 25sseldd 3125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑢𝐴)
29 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → 𝐷𝐴)
3029ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝐷𝐴)
31 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑣𝐷)
3230, 31sseldd 3125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑣𝐴)
3328, 32jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
34 simp-4l 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤))
35 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
36 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)
3720, 22sbie 1768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ([𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)
3836, 37sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵)
3935, 38jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → (𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵))
40 nfs1v 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥[𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵
4112, 40nfan 1542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵)
42 nfv 1505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 𝑢 = 𝑤
4341, 42nfim 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑤)
44 nfv 1505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑣)
4514anbi1d 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) ↔ (𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵)))
46 equequ1 1689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 𝑤𝑢 = 𝑤))
4745, 46imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑢 → (((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑤)))
48 sbequ 1817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑣 → ([𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵 ↔ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵))
4948anbi2d 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑣 → ((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) ↔ (𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵)))
50 equequ2 1690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑣 → (𝑢 = 𝑤𝑢 = 𝑣))
5149, 50imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑣 → (((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑤) ↔ ((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑣)))
5243, 44, 47, 51rspc2 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) → ((𝑦𝑢 / 𝑥𝐵 ∧ [𝑣 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑢 = 𝑣)))
5333, 34, 39, 52syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑢 = 𝑣)
5453, 31eqeltrd 2231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → 𝑢𝐷)
55 inelcm 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝐶𝑢𝐷) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)
5625, 54, 55syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) ∧ (𝑣𝐷𝑦𝑣 / 𝑥𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)
5724, 56rexlimddv 2576 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) ∧ (𝑢𝐶𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)
5816, 57rexlimddv 2576 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵)) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)
5958exp31 362 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦𝐵 ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦𝐵) → 𝑥 = 𝑤) → ((𝐶𝐴𝐷𝐴) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)))
608, 59sylbi 120 . . . . . . . . . 10 (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ((𝐶𝐴𝐷𝐴) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅)))
6160impcom 124 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ((∃𝑥𝐶 𝑦𝐵 ∧ ∃𝑥𝐷 𝑦𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
626, 61syl5bi 151 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) → (𝐶𝐷) ≠ ∅))
6362necon2bd 2382 . . . . . . 7 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ((𝐶𝐷) = ∅ → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
6463impancom 258 . . . . . 6 (((𝐶𝐴𝐷𝐴) ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
65643impa 1177 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
6665alimdv 1856 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
671, 66syl5bi 151 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅) → (Disj 𝑥𝐴 𝐵 → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵)))
6867impcom 124 . 2 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵))
69 eq0 3408 . 2 (( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵))
7068, 69sylibr 133 1 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴 ∧ (𝐶𝐷) = ∅)) → ( 𝑥𝐶 𝐵 𝑥𝐷 𝐵) = ∅)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963  ∀wal 1330   = wceq 1332  [wsb 1739   ∈ wcel 2125   ≠ wne 2324  ∀wral 2432  ∃wrex 2433  ∃*wrmo 2435  ⦋csb 3027   ∩ cin 3097   ⊆ wss 3098  ∅c0 3390  ∪ ciun 3845  Disj wdisj 3938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-ext 2136 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rmo 2440  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-iun 3847  df-disj 3939 This theorem is referenced by:  iunfidisj  6879  fsumiun  11351
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