Theorem elnnne0 9475

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 9474	. . 3 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
2	1	eleq2i 2298	. 2 |- ( N e. NN <-> N e. ( NN0 \ { 0 } ) )
3		eldifsn 3804	. 2 |- ( N e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   =/= wne 2403   \ cdif 3198   {csn 3673   0cc0 8092   NNcn 9202   NN0cn0 9461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-inn 9203  df-n0 9462

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  9611  fzo1fzo0n0  10485  swrdccatin1  11372  bezoutlemle  12659  eucalgval2  12705  eucalglt  12709  hashfinmndnn  13595