ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnne0 Unicode version

Theorem elnnne0 9011
Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elnnne0  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  N  =/=  0 ) )

Proof of Theorem elnnne0
StepHypRef Expression
1 dfn2 9010 . . 3  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
21eleq2i 2207 . 2  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( NN0  \  { 0 } ) )
3 eldifsn 3654 . 2  |-  ( N  e.  ( NN0  \  {
0 } )  <->  ( N  e.  NN0  /\  N  =/=  0 ) )
42, 3bitri 183 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  N  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1481    =/= wne 2309    \ cdif 3069   {csn 3528   0cc0 7640   NNcn 8740   NN0cn0 8997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1re 7734  ax-addrcl 7737  ax-0lt1 7746  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-ltadd 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-br 3934  df-opab 3994  df-xp 4549  df-cnv 4551  df-iota 5092  df-fv 5135  df-ov 5781  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-inn 8741  df-n0 8998
This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  9141  fzo1fzo0n0  9987  bezoutlemle  11723  eucalgval2  11761  eucalglt  11765
  Copyright terms: Public domain W3C validator