Theorem elnnne0 9119

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 9118	. . 3 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
2	1	eleq2i 2231	. 2 |- ( N e. NN <-> N e. ( NN0 \ { 0 } ) )
3		eldifsn 3697	. 2 |- ( N e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
4	2, 3	bitri 183	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2135   =/= wne 2334   \ cdif 3108   {csn 3570   0cc0 7744   NNcn 8848   NN0cn0 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1re 7838  ax-addrcl 7841  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-cnv 4606  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-inn 8849  df-n0 9106

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  9252  fzo1fzo0n0  10108  bezoutlemle  11926  eucalgval2  11964  eucalglt  11968