Theorem elnnne0 9383

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 9382	. . 3 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
2	1	eleq2i 2296	. 2 |- ( N e. NN <-> N e. ( NN0 \ { 0 } ) )
3		eldifsn 3795	. 2 |- ( N e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   =/= wne 2400   \ cdif 3194   {csn 3666   0cc0 7999   NNcn 9110   NN0cn0 9369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-inn 9111  df-n0 9370

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  9517  fzo1fzo0n0  10383  swrdccatin1  11257  bezoutlemle  12529  eucalgval2  12575  eucalglt  12579  hashfinmndnn  13465