Theorem elnnne0 9419

Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnnne0	|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )

Proof of Theorem elnnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 9418	. . 3 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
2	1	eleq2i 2298	. 2 |- ( N e. NN <-> N e. ( NN0 \ { 0 } ) )
3		eldifsn 3800	. 2 |- ( N e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   =/= wne 2402   \ cdif 3197   {csn 3669   0cc0 8035   NNcn 9146   NN0cn0 9405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1re 8129  ax-addrcl 8132  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6024  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-inn 9147  df-n0 9406

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  9553  fzo1fzo0n0  10426  swrdccatin1  11313  bezoutlemle  12600  eucalgval2  12646  eucalglt  12650  hashfinmndnn  13536