Theorem dfn2 9526

Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfn2	|- NN = ( NN0 \ { 0 } )

Proof of Theorem dfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9514	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2	1	difeq1i 3337	. 2 |- ( NN0 \ { 0 } ) = ( ( NN u. { 0 } ) \ { 0 } )
3		difun2 3593	. 2 |- ( ( NN u. { 0 } ) \ { 0 } ) = ( NN \ { 0 } )
4		0nnn 9281	. . 3 |- -. 0 e. NN
5		difsn 3836	. . 3 |- ( -. 0 e. NN -> ( NN \ { 0 } ) = NN )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( NN \ { 0 } ) = NN
7	2, 3, 6	3eqtrri 2260	1 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1398   e. wcel 2205   \ cdif 3211   u. cun 3212   {csn 3694   0cc0 8143   NNcn 9254   NN0cn0 9513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-inn 9255  df-n0 9514

This theorem is referenced by:  elnnne0  9527  fcdmnn0supp  9565  fcdmnn0fsupp  9566  fcdmnn0suppg  9567  nn0supp  9569  facnn  11114  fac0  11115  fzo0dvdseq  12568