Theorem dfn2 9191

Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfn2	|- NN = ( NN0 \ { 0 } )

Proof of Theorem dfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9179	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2	1	difeq1i 3251	. 2 |- ( NN0 \ { 0 } ) = ( ( NN u. { 0 } ) \ { 0 } )
3		difun2 3504	. 2 |- ( ( NN u. { 0 } ) \ { 0 } ) = ( NN \ { 0 } )
4		0nnn 8948	. . 3 |- -. 0 e. NN
5		difsn 3731	. . 3 |- ( -. 0 e. NN -> ( NN \ { 0 } ) = NN )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( NN \ { 0 } ) = NN
7	2, 3, 6	3eqtrri 2203	1 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1353   e. wcel 2148   \ cdif 3128   u. cun 3129   {csn 3594   0cc0 7813   NNcn 8921   NN0cn0 9178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-inn 8922  df-n0 9179

This theorem is referenced by:  elnnne0  9192  nn0supp  9230  facnn  10709  fac0  10710  fzo0dvdseq  11865