Theorem dfn2 9279

Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfn2	|- NN = ( NN0 \ { 0 } )

Proof of Theorem dfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9267	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2	1	difeq1i 3278	. 2 |- ( NN0 \ { 0 } ) = ( ( NN u. { 0 } ) \ { 0 } )
3		difun2 3531	. 2 |- ( ( NN u. { 0 } ) \ { 0 } ) = ( NN \ { 0 } )
4		0nnn 9034	. . 3 |- -. 0 e. NN
5		difsn 3760	. . 3 |- ( -. 0 e. NN -> ( NN \ { 0 } ) = NN )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( NN \ { 0 } ) = NN
7	2, 3, 6	3eqtrri 2222	1 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1364   e. wcel 2167   \ cdif 3154   u. cun 3155   {csn 3623   0cc0 7896   NNcn 9007   NN0cn0 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-inn 9008  df-n0 9267

This theorem is referenced by:  elnnne0  9280  nn0supp  9318  facnn  10836  fac0  10837  fzo0dvdseq  12039