Theorem dfn2 9148

Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfn2	|- NN = ( NN0 \ { 0 } )

Proof of Theorem dfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9136	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2	1	difeq1i 3241	. 2 |- ( NN0 \ { 0 } ) = ( ( NN u. { 0 } ) \ { 0 } )
3		difun2 3494	. 2 |- ( ( NN u. { 0 } ) \ { 0 } ) = ( NN \ { 0 } )
4		0nnn 8905	. . 3 |- -. 0 e. NN
5		difsn 3717	. . 3 |- ( -. 0 e. NN -> ( NN \ { 0 } ) = NN )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( NN \ { 0 } ) = NN
7	2, 3, 6	3eqtrri 2196	1 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1348   e. wcel 2141   \ cdif 3118   u. cun 3119   {csn 3583   0cc0 7774   NNcn 8878   NN0cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by:  elnnne0  9149  nn0supp  9187  facnn  10661  fac0  10662  fzo0dvdseq  11817