Theorem dfn2 9509

Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfn2	|- NN = ( NN0 \ { 0 } )

Proof of Theorem dfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9497	. . 3 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2	1	difeq1i 3333	. 2 |- ( NN0 \ { 0 } ) = ( ( NN u. { 0 } ) \ { 0 } )
3		difun2 3589	. 2 |- ( ( NN u. { 0 } ) \ { 0 } ) = ( NN \ { 0 } )
4		0nnn 9264	. . 3 |- -. 0 e. NN
5		difsn 3831	. . 3 |- ( -. 0 e. NN -> ( NN \ { 0 } ) = NN )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( NN \ { 0 } ) = NN
7	2, 3, 6	3eqtrri 2258	1 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1398   e. wcel 2203   \ cdif 3208   u. cun 3209   {csn 3689   0cc0 8127   NNcn 9237   NN0cn0 9496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-inn 9238  df-n0 9497

This theorem is referenced by:  elnnne0  9510  fcdmnn0supp  9548  fcdmnn0fsupp  9549  fcdmnn0suppg  9550  nn0supp  9552  facnn  11089  fac0  11090  fzo0dvdseq  12543