ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfn2 Unicode version

Theorem dfn2 8983
Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfn2  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )

Proof of Theorem dfn2
StepHypRef Expression
1 df-n0 8971 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
21difeq1i 3185 . 2  |-  ( NN0  \  { 0 } )  =  ( ( NN  u.  { 0 } )  \  { 0 } )
3 difun2 3437 . 2  |-  ( ( NN  u.  { 0 } )  \  {
0 } )  =  ( NN  \  {
0 } )
4 0nnn 8740 . . 3  |-  -.  0  e.  NN
5 difsn 3652 . . 3  |-  ( -.  0  e.  NN  ->  ( NN  \  { 0 } )  =  NN )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( NN 
\  { 0 } )  =  NN
72, 3, 63eqtrri 2163 1  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1331    e. wcel 1480    \ cdif 3063    u. cun 3064   {csn 3522   0cc0 7613   NNcn 8713   NN0cn0 8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-inn 8714  df-n0 8971
This theorem is referenced by:  elnnne0  8984  nn0supp  9022  facnn  10466  fac0  10467  fzo0dvdseq  11544
  Copyright terms: Public domain W3C validator