ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnne0 GIF version

Theorem elnnne0 8998
Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elnnne0 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0
StepHypRef Expression
1 dfn2 8997 . . 3 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
21eleq2i 2206 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3 eldifsn 3650 . 2 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
42, 3bitri 183 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  wcel 1480  wne 2308  cdif 3068  {csn 3527  0cc0 7627  cn 8727  0cn0 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1re 7721  ax-addrcl 7724  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-inn 8728  df-n0 8985
This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  9128  fzo1fzo0n0  9967  bezoutlemle  11703  eucalgval2  11741  eucalglt  11745
  Copyright terms: Public domain W3C validator