Theorem fzo1fzo0n0 10276

Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzo1fzo0n0	|- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )

Proof of Theorem fzo1fzo0n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10242	. . 3 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
2		elnnuz 9655	. . . . . . 7 |- ( K e. NN <-> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
3		nnnn0 9273	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) -> K e. NN0 )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> K e. NN0 )
6		nngt0 9032	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> 0 < K )
7		0red 8044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> 0 e. RR )
8		nnre 9014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. NN -> K e. RR )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> K e. RR )
10		zre 9347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> N e. RR )
12		lttr 8117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
14		elnnz 9353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
15	14	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
17	13, 16	syld 45	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> N e. NN ) )
18	17	exp4b 367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( K e. NN -> ( 0 < K -> ( K < N -> N e. NN ) ) ) )
19	18	com13 80	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 < K -> ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> N e. NN ) ) ) )
20	6, 19	mpcom 36	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> N e. NN ) ) )
21	20	imp31 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> N e. NN )
22		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> K < N )
23	5, 21, 22	3jca 1179	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
24	23	exp31 364	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) ) )
25	2, 24	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) ) )
26	25	3imp 1195	. . . . 5 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
27		elfzo0 10275	. . . . 5 |- ( K e. ( 0..^ N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
28	26, 27	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> K e. ( 0..^ N ) )
29		nnne0 9035	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> K =/= 0 )
30	2, 29	sylbir 135	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) -> K =/= 0 )
31	30	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> K =/= 0 )
32	28, 31	jca 306	. . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )
33	1, 32	sylbi 121	. 2 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )
34		elnnne0 9280	. . . . . 6 |- ( K e. NN <-> ( K e. NN0 /\ K =/= 0 ) )
35		nnge1 9030	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> 1 <_ K )
36	34, 35	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ K =/= 0 ) -> 1 <_ K )
37	36	3ad2antl1 1161	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> 1 <_ K )
38		simpl3 1004	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> K < N )
39		nn0z 9363	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
40	39	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> K e. ZZ )
41		1zzd 9370	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> 1 e. ZZ )
42		nnz 9362	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
44	40, 41, 43	3jca 1179	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
45	44	3adant3 1019	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
46	45	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
47		elfzo 10241	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( 1 <_ K /\ K < N ) ) )
48	46, 47	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( 1 <_ K /\ K < N ) ) )
49	37, 38, 48	mpbir2and 946	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> K e. ( 1..^ N ) )
50	27, 49	sylanb 284	. 2 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) -> K e. ( 1..^ N ) )
51	33, 50	impbii 126	1 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   =/= wne 2367   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   < clt 8078   <_ cle 8079   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618  ..^cfzo 10234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235

This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  12450