Theorem fzo1fzo0n0 10329

Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzo1fzo0n0	|- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )

Proof of Theorem fzo1fzo0n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10292	. . 3 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
2		elnnuz 9705	. . . . . . 7 |- ( K e. NN <-> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
3		nnnn0 9322	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) -> K e. NN0 )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> K e. NN0 )
6		nngt0 9081	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> 0 < K )
7		0red 8093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> 0 e. RR )
8		nnre 9063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. NN -> K e. RR )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> K e. RR )
10		zre 9396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> N e. RR )
12		lttr 8166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
14		elnnz 9402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
15	14	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
17	13, 16	syld 45	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> N e. NN ) )
18	17	exp4b 367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( K e. NN -> ( 0 < K -> ( K < N -> N e. NN ) ) ) )
19	18	com13 80	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 < K -> ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> N e. NN ) ) ) )
20	6, 19	mpcom 36	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> N e. NN ) ) )
21	20	imp31 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> N e. NN )
22		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> K < N )
23	5, 21, 22	3jca 1180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
24	23	exp31 364	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) ) )
25	2, 24	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) ) )
26	25	3imp 1196	. . . . 5 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
27		elfzo0 10328	. . . . 5 |- ( K e. ( 0..^ N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
28	26, 27	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> K e. ( 0..^ N ) )
29		nnne0 9084	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> K =/= 0 )
30	2, 29	sylbir 135	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) -> K =/= 0 )
31	30	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> K =/= 0 )
32	28, 31	jca 306	. . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )
33	1, 32	sylbi 121	. 2 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )
34		elnnne0 9329	. . . . . 6 |- ( K e. NN <-> ( K e. NN0 /\ K =/= 0 ) )
35		nnge1 9079	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> 1 <_ K )
36	34, 35	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ K =/= 0 ) -> 1 <_ K )
37	36	3ad2antl1 1162	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> 1 <_ K )
38		simpl3 1005	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> K < N )
39		nn0z 9412	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
40	39	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> K e. ZZ )
41		1zzd 9419	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> 1 e. ZZ )
42		nnz 9411	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
44	40, 41, 43	3jca 1180	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
45	44	3adant3 1020	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
46	45	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
47		elfzo 10291	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( 1 <_ K /\ K < N ) ) )
48	46, 47	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( 1 <_ K /\ K < N ) ) )
49	37, 38, 48	mpbir2and 947	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> K e. ( 1..^ N ) )
50	27, 49	sylanb 284	. 2 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) -> K e. ( 1..^ N ) )
51	33, 50	impbii 126	1 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2177   =/= wne 2377   class class class wbr 4051   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   RRcr 7944   0cc0 7945   1c1 7946   < clt 8127   <_ cle 8128   NNcn 9056   NN0cn0 9315   ZZcz 9392   ZZ>=cuz 9668  ..^cfzo 10284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285

This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  12654