Theorem fzo1fzo0n0 10114

Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzo1fzo0n0	|- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )

Proof of Theorem fzo1fzo0n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10081	. . 3 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
2		elnnuz 9498	. . . . . . 7 |- ( K e. NN <-> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
3		nnnn0 9117	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
4	3	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) -> K e. NN0 )
5	4	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> K e. NN0 )
6		nngt0 8878	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> 0 < K )
7		0red 7896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> 0 e. RR )
8		nnre 8860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. NN -> K e. RR )
9	8	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> K e. RR )
10		zre 9191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> N e. RR )
12		lttr 7968	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
14		elnnz 9197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
15	14	simplbi2 383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
16	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
17	13, 16	syld 45	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> N e. NN ) )
18	17	exp4b 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( K e. NN -> ( 0 < K -> ( K < N -> N e. NN ) ) ) )
19	18	com13 80	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 < K -> ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> N e. NN ) ) ) )
20	6, 19	mpcom 36	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> N e. NN ) ) )
21	20	imp31 254	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> N e. NN )
22		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> K < N )
23	5, 21, 22	3jca 1167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
24	23	exp31 362	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) ) )
25	2, 24	sylbir 134	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) ) )
26	25	3imp 1183	. . . . 5 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
27		elfzo0 10113	. . . . 5 |- ( K e. ( 0..^ N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
28	26, 27	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> K e. ( 0..^ N ) )
29		nnne0 8881	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> K =/= 0 )
30	2, 29	sylbir 134	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) -> K =/= 0 )
31	30	3ad2ant1 1008	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> K =/= 0 )
32	28, 31	jca 304	. . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )
33	1, 32	sylbi 120	. 2 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )
34		elnnne0 9124	. . . . . 6 |- ( K e. NN <-> ( K e. NN0 /\ K =/= 0 ) )
35		nnge1 8876	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> 1 <_ K )
36	34, 35	sylbir 134	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ K =/= 0 ) -> 1 <_ K )
37	36	3ad2antl1 1149	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> 1 <_ K )
38		simpl3 992	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> K < N )
39		nn0z 9207	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
40	39	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> K e. ZZ )
41		1zzd 9214	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> 1 e. ZZ )
42		nnz 9206	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
43	42	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
44	40, 41, 43	3jca 1167	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
45	44	3adant3 1007	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
46	45	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
47		elfzo 10080	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( 1 <_ K /\ K < N ) ) )
48	46, 47	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( 1 <_ K /\ K < N ) ) )
49	37, 38, 48	mpbir2and 934	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> K e. ( 1..^ N ) )
50	27, 49	sylanb 282	. 2 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) -> K e. ( 1..^ N ) )
51	33, 50	impbii 125	1 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   e. wcel 2136   =/= wne 2335   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   RRcr 7748   0cc0 7749   1c1 7750   < clt 7929   <_ cle 7930   NNcn 8853   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462  ..^cfzo 10073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074

This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  12184