Theorem fzo1fzo0n0 10305

Description: An integer between 1 and an upper bound of a half-open integer range is not 0 and between 0 and the upper bound of the half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzo1fzo0n0	|- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )

Proof of Theorem fzo1fzo0n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 10271	. . 3 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
2		elnnuz 9684	. . . . . . 7 |- ( K e. NN <-> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
3		nnnn0 9301	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) -> K e. NN0 )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> K e. NN0 )
6		nngt0 9060	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> 0 < K )
7		0red 8072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> 0 e. RR )
8		nnre 9042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. NN -> K e. RR )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> K e. RR )
10		zre 9375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> N e. RR )
12		lttr 8145	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> 0 < N ) )
14		elnnz 9381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
15	14	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( 0 < N -> N e. NN ) )
17	13, 16	syld 45	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( ( 0 < K /\ K < N ) -> N e. NN ) )
18	17	exp4b 367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( K e. NN -> ( 0 < K -> ( K < N -> N e. NN ) ) ) )
19	18	com13 80	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 < K -> ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> N e. NN ) ) ) )
20	6, 19	mpcom 36	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> N e. NN ) ) )
21	20	imp31 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> N e. NN )
22		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> K < N )
23	5, 21, 22	3jca 1179	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
24	23	exp31 364	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) ) )
25	2, 24	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( N e. ZZ -> ( K < N -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) ) ) )
26	25	3imp 1195	. . . . 5 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
27		elfzo0 10304	. . . . 5 |- ( K e. ( 0..^ N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) )
28	26, 27	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> K e. ( 0..^ N ) )
29		nnne0 9063	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> K =/= 0 )
30	2, 29	sylbir 135	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) -> K =/= 0 )
31	30	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> K =/= 0 )
32	28, 31	jca 306	. . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) -> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )
33	1, 32	sylbi 121	. 2 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )
34		elnnne0 9308	. . . . . 6 |- ( K e. NN <-> ( K e. NN0 /\ K =/= 0 ) )
35		nnge1 9058	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> 1 <_ K )
36	34, 35	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ K =/= 0 ) -> 1 <_ K )
37	36	3ad2antl1 1161	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> 1 <_ K )
38		simpl3 1004	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> K < N )
39		nn0z 9391	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
40	39	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> K e. ZZ )
41		1zzd 9398	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> 1 e. ZZ )
42		nnz 9390	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
44	40, 41, 43	3jca 1179	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
45	44	3adant3 1019	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
46	45	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
47		elfzo 10270	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( 1 <_ K /\ K < N ) ) )
48	46, 47	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( 1 <_ K /\ K < N ) ) )
49	37, 38, 48	mpbir2and 946	. . 3 |- ( ( ( K e. NN0 /\ N e. NN /\ K < N ) /\ K =/= 0 ) -> K e. ( 1..^ N ) )
50	27, 49	sylanb 284	. 2 |- ( ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) -> K e. ( 1..^ N ) )
51	33, 50	impbii 126	1 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. ( 0..^ N ) /\ K =/= 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2175   =/= wne 2375   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   RRcr 7923   0cc0 7924   1c1 7925   < clt 8106   <_ cle 8107   NNcn 9035   NN0cn0 9294   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647  ..^cfzo 10263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130  df-fzo 10264

This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  12521