Theorem eucalgval2 12809

Description: The value of the step function E for Euclid's Algorithm on an ordered pair. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	|- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
eucalgval2	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )

Distinct variable groups:   x, y, M   x, N, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem eucalgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4363	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> <. M , N >. e. _V )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N = 0 ) -> <. M , N >. e. _V )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N e. NN0 )
5		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
6	5	nn0zd 9745	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> M e. ZZ )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
9	8	neqned 2427	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
10		elnnne0 9556	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
11	4, 9, 10	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N e. NN )
12	7, 11	zmodcld 10760	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> ( M mod N ) e. NN0 )
13		opexg 4363	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( M mod N ) e. NN0 ) -> <. N , ( M mod N ) >. e. _V )
14	4, 12, 13	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> <. N , ( M mod N ) >. e. _V )
15	3	nn0zd 9745	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
16		0zd 9635	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
17		zdceq 9699	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
18	15, 16, 17	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> DECID N = 0 )
19	2, 14, 18	ifcldadc 3667	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) e. _V )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> y = N )
21	20	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> ( y = 0 <-> N = 0 ) )
22		opeq12 3901	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> <. x , y >. = <. M , N >. )
23		oveq12 6084	. . . . 5 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> ( x mod y ) = ( M mod N ) )
24	20, 23	opeq12d 3907	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> <. y , ( x mod y ) >. = <. N , ( M mod N ) >. )
25	21, 22, 24	ifbieq12d 3664	. . 3 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )
26		eucalgval.1	. . 3 |- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )
27	25, 26	ovmpoga 6208	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) e. _V ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )
28	19, 27	mpd3an3 1379	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   ifcif 3635   <.cop 3708  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077   0cc0 8169   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   mod cmo 10737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-q 9999  df-rp 10034  df-fl 10683  df-mod 10738

This theorem is referenced by:  eucalgval  12810