Theorem eucalgval2 12007

Description: The value of the step function E for Euclid's Algorithm on an ordered pair. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	|- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
eucalgval2	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )

Distinct variable groups:   x, y, M   x, N, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem eucalgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4213	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> <. M , N >. e. _V )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N = 0 ) -> <. M , N >. e. _V )
3		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
4	3	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N e. NN0 )
5		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
6	5	nn0zd 9332	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
7	6	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> M e. ZZ )
8		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
9	8	neqned 2347	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
10		elnnne0 9149	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
11	4, 9, 10	sylanbrc 415	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N e. NN )
12	7, 11	zmodcld 10301	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> ( M mod N ) e. NN0 )
13		opexg 4213	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( M mod N ) e. NN0 ) -> <. N , ( M mod N ) >. e. _V )
14	4, 12, 13	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> <. N , ( M mod N ) >. e. _V )
15	3	nn0zd 9332	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
16		0zd 9224	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
17		zdceq 9287	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
18	15, 16, 17	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> DECID N = 0 )
19	2, 14, 18	ifcldadc 3555	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) e. _V )
20		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> y = N )
21	20	eqeq1d 2179	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> ( y = 0 <-> N = 0 ) )
22		opeq12 3767	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> <. x , y >. = <. M , N >. )
23		oveq12 5862	. . . . 5 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> ( x mod y ) = ( M mod N ) )
24	20, 23	opeq12d 3773	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> <. y , ( x mod y ) >. = <. N , ( M mod N ) >. )
25	21, 22, 24	ifbieq12d 3552	. . 3 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )
26		eucalgval.1	. . 3 |- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )
27	25, 26	ovmpoga 5982	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) e. _V ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )
28	19, 27	mpd3an3 1333	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   _Vcvv 2730   ifcif 3526   <.cop 3586  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   0cc0 7774   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   mod cmo 10278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279

This theorem is referenced by:  eucalgval  12008