ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eucalgval2 Unicode version

Theorem eucalgval2 10815
Description: The value of the step function  E for Euclid's Algorithm on an ordered pair. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eucalgval.1  |-  E  =  ( x  e.  NN0 ,  y  e.  NN0  |->  if ( y  =  0 , 
<. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y )
>. ) )
Assertion
Ref Expression
eucalgval2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M E N )  =  if ( N  =  0 , 
<. M ,  N >. , 
<. N ,  ( M  mod  N ) >.
) )
Distinct variable groups:    x, y, M   
x, N, y
Allowed substitution hints:    E( x, y)

Proof of Theorem eucalgval2
StepHypRef Expression
1 opexg 4019 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  <. M ,  N >.  e. 
_V )
21adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  =  0
)  ->  <. M ,  N >.  e.  _V )
3 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
43adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  e.  NN0 )
5 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
65nn0zd 8762 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
76adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  -.  N  =  0 )  ->  M  e.  ZZ )
8 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  -.  N  =  0 )  ->  -.  N  =  0 )
98neqned 2256 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  =/=  0 )
10 elnnne0 8579 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  NN0  /\  N  =/=  0 ) )
114, 9, 10sylanbrc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  e.  NN )
127, 11zmodcld 9641 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( M  mod  N )  e.  NN0 )
13 opexg 4019 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( M  mod  N )  e.  NN0 )  ->  <. N ,  ( M  mod  N ) >.  e.  _V )
144, 12, 13syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  -.  N  =  0 )  ->  <. N , 
( M  mod  N
) >.  e.  _V )
153nn0zd 8762 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
16 0zd 8658 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  ZZ )
17 zdceq 8718 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
1815, 16, 17syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> DECID  N  =  0 )
192, 14, 18ifcldadc 3400 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  if ( N  =  0 ,  <. M ,  N >. ,  <. N ,  ( M  mod  N )
>. )  e.  _V )
20 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( x  =  M  /\  y  =  N )  ->  y  =  N )
2120eqeq1d 2091 . . . 4  |-  ( ( x  =  M  /\  y  =  N )  ->  ( y  =  0  <-> 
N  =  0 ) )
22 opeq12 3598 . . . 4  |-  ( ( x  =  M  /\  y  =  N )  -> 
<. x ,  y >.  =  <. M ,  N >. )
23 oveq12 5600 . . . . 5  |-  ( ( x  =  M  /\  y  =  N )  ->  ( x  mod  y
)  =  ( M  mod  N ) )
2420, 23opeq12d 3604 . . . 4  |-  ( ( x  =  M  /\  y  =  N )  -> 
<. y ,  ( x  mod  y ) >.  =  <. N ,  ( M  mod  N )
>. )
2521, 22, 24ifbieq12d 3397 . . 3  |-  ( ( x  =  M  /\  y  =  N )  ->  if ( y  =  0 ,  <. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y ) >. )  =  if ( N  =  0 ,  <. M ,  N >. ,  <. N , 
( M  mod  N
) >. ) )
26 eucalgval.1 . . 3  |-  E  =  ( x  e.  NN0 ,  y  e.  NN0  |->  if ( y  =  0 , 
<. x ,  y >. ,  <. y ,  ( x  mod  y )
>. ) )
2725, 26ovmpt2ga 5709 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  if ( N  =  0 ,  <. M ,  N >. ,  <. N ,  ( M  mod  N )
>. )  e.  _V )  ->  ( M E N )  =  if ( N  =  0 ,  <. M ,  N >. ,  <. N ,  ( M  mod  N )
>. ) )
2819, 27mpd3an3 1270 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M E N )  =  if ( N  =  0 , 
<. M ,  N >. , 
<. N ,  ( M  mod  N ) >.
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102  DECID wdc 776    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   _Vcvv 2612   ifcif 3373   <.cop 3425  (class class class)co 5591    |-> cmpt2 5593   0cc0 7253   NNcn 8316   NN0cn0 8565   ZZcz 8646    mod cmo 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-q 9000  df-rp 9030  df-fl 9566  df-mod 9619
This theorem is referenced by:  eucalgval  10816
  Copyright terms: Public domain W3C validator