Theorem eucalgval2 12460

Description: The value of the step function E for Euclid's Algorithm on an ordered pair. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	|- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
eucalgval2	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )

Distinct variable groups:   x, y, M   x, N, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem eucalgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4285	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> <. M , N >. e. _V )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N = 0 ) -> <. M , N >. e. _V )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N e. NN0 )
5		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
6	5	nn0zd 9523	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> M e. ZZ )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
9	8	neqned 2384	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
10		elnnne0 9339	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
11	4, 9, 10	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N e. NN )
12	7, 11	zmodcld 10522	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> ( M mod N ) e. NN0 )
13		opexg 4285	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( M mod N ) e. NN0 ) -> <. N , ( M mod N ) >. e. _V )
14	4, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> <. N , ( M mod N ) >. e. _V )
15	3	nn0zd 9523	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
16		0zd 9414	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
17		zdceq 9478	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> DECID N = 0 )
19	2, 14, 18	ifcldadc 3605	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) e. _V )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> y = N )
21	20	eqeq1d 2215	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> ( y = 0 <-> N = 0 ) )
22		opeq12 3830	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> <. x , y >. = <. M , N >. )
23		oveq12 5971	. . . . 5 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> ( x mod y ) = ( M mod N ) )
24	20, 23	opeq12d 3836	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> <. y , ( x mod y ) >. = <. N , ( M mod N ) >. )
25	21, 22, 24	ifbieq12d 3602	. . 3 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )
26		eucalgval.1	. . 3 |- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )
27	25, 26	ovmpoga 6093	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) e. _V ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )
28	19, 27	mpd3an3 1351	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   _Vcvv 2773   ifcif 3575   <.cop 3641  (class class class)co 5962   e. cmpo 5964   0cc0 7955   NNcn 9066   NN0cn0 9325   ZZcz 9402   mod cmo 10499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-q 9771  df-rp 9806  df-fl 10445  df-mod 10500

This theorem is referenced by:  eucalgval  12461