Theorem eucalgval2 12624

Description: The value of the step function E for Euclid's Algorithm on an ordered pair. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eucalgval.1	|- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
eucalgval2	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )

Distinct variable groups:   x, y, M   x, N, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem eucalgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4320	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> <. M , N >. e. _V )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N = 0 ) -> <. M , N >. e. _V )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N e. NN0 )
5		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. NN0 )
6	5	nn0zd 9599	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> M e. ZZ )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
9	8	neqned 2409	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
10		elnnne0 9415	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
11	4, 9, 10	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> N e. NN )
12	7, 11	zmodcld 10606	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> ( M mod N ) e. NN0 )
13		opexg 4320	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( M mod N ) e. NN0 ) -> <. N , ( M mod N ) >. e. _V )
14	4, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N = 0 ) -> <. N , ( M mod N ) >. e. _V )
15	3	nn0zd 9599	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
16		0zd 9490	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
17		zdceq 9554	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> DECID N = 0 )
19	2, 14, 18	ifcldadc 3635	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) e. _V )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> y = N )
21	20	eqeq1d 2240	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> ( y = 0 <-> N = 0 ) )
22		opeq12 3864	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> <. x , y >. = <. M , N >. )
23		oveq12 6026	. . . . 5 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> ( x mod y ) = ( M mod N ) )
24	20, 23	opeq12d 3870	. . . 4 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> <. y , ( x mod y ) >. = <. N , ( M mod N ) >. )
25	21, 22, 24	ifbieq12d 3632	. . 3 |- ( ( x = M /\ y = N ) -> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )
26		eucalgval.1	. . 3 |- E = ( x e. NN0 , y e. NN0 |-> if ( y = 0 , <. x , y >. , <. y , ( x mod y ) >. ) )
27	25, 26	ovmpoga 6150	. 2 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) e. _V ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )
28	19, 27	mpd3an3 1374	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M E N ) = if ( N = 0 , <. M , N >. , <. N , ( M mod N ) >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   _Vcvv 2802   ifcif 3605   <.cop 3672  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019   0cc0 8031   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   mod cmo 10583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-q 9853  df-rp 9888  df-fl 10529  df-mod 10584

This theorem is referenced by:  eucalgval  12625