Theorem 0nn0 9310

Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0	|- 0 e. NN0

Proof of Theorem 0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. 2 |- 0 = 0
2		elnn0 9297	. . . 4 |- ( 0 e. NN0 <-> ( 0 e. NN \/ 0 = 0 ) )
3	2	biimpri 133	. . 3 |- ( ( 0 e. NN \/ 0 = 0 ) -> 0 e. NN0 )
4	3	olcs 738	. 2 |- ( 0 = 0 -> 0 e. NN0 )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- 0 e. NN0

Syntax hints:   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   0cc0 7925   NNcn 9036   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-mulcl 8023  ax-i2m1 8030

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  0xnn0  9364  elnn0z  9385  nn0ind-raph  9490  10nn0  9521  declei  9539  numlti  9540  nummul1c  9552  decaddc2  9559  decrmanc  9560  decrmac  9561  decaddm10  9562  decaddi  9563  decaddci  9564  decaddci2  9565  decmul1  9567  decmulnc  9570  6p5e11  9576  7p4e11  9579  8p3e11  9584  9p2e11  9590  10p10e20  9598  fz01or  10233  0elfz  10240  4fvwrd4  10262  fvinim0ffz  10370  0tonninf  10585  exple1  10740  sq10  10857  bc0k  10901  bcn1  10903  bccl  10912  fihasheq0  10938  iswrdiz  11001  iswrddm0  11018  s1leng  11078  s1fv  11080  eqs1  11082  s111  11085  fsumnn0cl  11714  binom  11795  bcxmas  11800  isumnn0nn  11804  geoserap  11818  ef0lem  11971  ege2le3  11982  ef4p  12005  efgt1p2  12006  efgt1p  12007  nn0o  12218  ndvdssub  12241  5ndvds3  12245  bits0  12259  0bits  12270  gcdval  12280  gcdcl  12287  dfgcd3  12331  nn0seqcvgd  12363  algcvg  12370  eucalg  12381  lcmcl  12394  pw2dvdslemn  12487  pclem0  12609  pcpre1  12615  pcfac  12673  dec5dvds2  12736  2exp11  12759  2exp16  12760  ennnfonelemj0  12772  ennnfonelem0  12776  ennnfonelem1  12778  plendxnocndx  13046  slotsdifdsndx  13057  slotsdifunifndx  13064  imasvalstrd  13102  cnfldstr  14320  nn0subm  14345  znf1o  14413  fczpsrbag  14433  psr1clfi  14450  mplsubgfilemm  14460  dveflem  15198  plyconst  15217  plycolemc  15230  pilem3  15255  1kp2ke3k  15660  ex-fac  15664  012of  15930  isomninnlem  15969  iswomninnlem  15988  iswomni0  15990  ismkvnnlem  15991