Theorem 0nn0 9120

Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0	|- 0 e. NN0

Proof of Theorem 0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2164	. 2 |- 0 = 0
2		elnn0 9107	. . . 4 |- ( 0 e. NN0 <-> ( 0 e. NN \/ 0 = 0 ) )
3	2	biimpri 132	. . 3 |- ( ( 0 e. NN \/ 0 = 0 ) -> 0 e. NN0 )
4	3	olcs 726	. 2 |- ( 0 = 0 -> 0 e. NN0 )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- 0 e. NN0

Syntax hints:   \/ wo 698   = wceq 1342   e. wcel 2135   0cc0 7744   NNcn 8848   NN0cn0 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-1cn 7837  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-mulcl 7842  ax-i2m1 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-un 3115  df-sn 3576  df-n0 9106

This theorem is referenced by:  0xnn0  9174  elnn0z  9195  nn0ind-raph  9299  10nn0  9330  declei  9348  numlti  9349  nummul1c  9361  decaddc2  9368  decrmanc  9369  decrmac  9370  decaddm10  9371  decaddi  9372  decaddci  9373  decaddci2  9374  decmul1  9376  decmulnc  9379  6p5e11  9385  7p4e11  9388  8p3e11  9393  9p2e11  9399  10p10e20  9407  fz01or  10036  0elfz  10043  4fvwrd4  10065  fvinim0ffz  10166  0tonninf  10364  exple1  10501  sq10  10614  bc0k  10658  bcn1  10660  bccl  10669  fihasheq0  10696  fsumnn0cl  11330  binom  11411  bcxmas  11416  isumnn0nn  11420  geoserap  11434  ef0lem  11587  ege2le3  11598  ef4p  11621  efgt1p2  11622  efgt1p  11623  nn0o  11829  ndvdssub  11852  gcdval  11877  gcdcl  11884  dfgcd3  11928  nn0seqcvgd  11952  algcvg  11959  eucalg  11970  lcmcl  11983  pw2dvdslemn  12074  pclem0  12195  pcpre1  12201  pcfac  12257  ennnfonelemj0  12271  ennnfonelem0  12275  ennnfonelem1  12277  dveflem  13228  pilem3  13245  1kp2ke3k  13442  ex-fac  13446  012of  13709  isomninnlem  13743  iswomninnlem  13762  iswomni0  13764  ismkvnnlem  13765