Theorem 0nn0 9345

Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0	|- 0 e. NN0

Proof of Theorem 0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. 2 |- 0 = 0
2		elnn0 9332	. . . 4 |- ( 0 e. NN0 <-> ( 0 e. NN \/ 0 = 0 ) )
3	2	biimpri 133	. . 3 |- ( ( 0 e. NN \/ 0 = 0 ) -> 0 e. NN0 )
4	3	olcs 738	. 2 |- ( 0 = 0 -> 0 e. NN0 )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- 0 e. NN0

Syntax hints:   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   0cc0 7960   NNcn 9071   NN0cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-mulcl 8058  ax-i2m1 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-sn 3649  df-n0 9331

This theorem is referenced by:  0xnn0  9399  elnn0z  9420  nn0ind-raph  9525  10nn0  9556  declei  9574  numlti  9575  nummul1c  9587  decaddc2  9594  decrmanc  9595  decrmac  9596  decaddm10  9597  decaddi  9598  decaddci  9599  decaddci2  9600  decmul1  9602  decmulnc  9605  6p5e11  9611  7p4e11  9614  8p3e11  9619  9p2e11  9625  10p10e20  9633  fz01or  10268  0elfz  10275  4fvwrd4  10297  fvinim0ffz  10407  0tonninf  10622  exple1  10777  sq10  10894  bc0k  10938  bcn1  10940  bccl  10949  fihasheq0  10975  iswrdiz  11038  iswrddm0  11055  s1leng  11116  s1fv  11118  eqs1  11120  s111  11123  pfx00g  11166  fsumnn0cl  11829  binom  11910  bcxmas  11915  isumnn0nn  11919  geoserap  11933  ef0lem  12086  ege2le3  12097  ef4p  12120  efgt1p2  12121  efgt1p  12122  nn0o  12333  ndvdssub  12356  5ndvds3  12360  bits0  12374  0bits  12385  gcdval  12395  gcdcl  12402  dfgcd3  12446  nn0seqcvgd  12478  algcvg  12485  eucalg  12496  lcmcl  12509  pw2dvdslemn  12602  pclem0  12724  pcpre1  12730  pcfac  12788  dec5dvds2  12851  2exp11  12874  2exp16  12875  ennnfonelemj0  12887  ennnfonelem0  12891  ennnfonelem1  12893  plendxnocndx  13161  slotsdifdsndx  13172  slotsdifunifndx  13179  imasvalstrd  13217  cnfldstr  14435  nn0subm  14460  znf1o  14528  fczpsrbag  14548  psr1clfi  14565  mplsubgfilemm  14575  dveflem  15313  plyconst  15332  plycolemc  15345  pilem3  15370  1kp2ke3k  15860  ex-fac  15864  012of  16130  isomninnlem  16171  iswomninnlem  16190  iswomni0  16192  ismkvnnlem  16193