Theorem 0nn0 9190

Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0	|- 0 e. NN0

Proof of Theorem 0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. 2 |- 0 = 0
2		elnn0 9177	. . . 4 |- ( 0 e. NN0 <-> ( 0 e. NN \/ 0 = 0 ) )
3	2	biimpri 133	. . 3 |- ( ( 0 e. NN \/ 0 = 0 ) -> 0 e. NN0 )
4	3	olcs 736	. 2 |- ( 0 = 0 -> 0 e. NN0 )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- 0 e. NN0

Syntax hints:   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   0cc0 7810   NNcn 8918   NN0cn0 9175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-1cn 7903  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-mulcl 7908  ax-i2m1 7915

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-n0 9176

This theorem is referenced by:  0xnn0  9244  elnn0z  9265  nn0ind-raph  9369  10nn0  9400  declei  9418  numlti  9419  nummul1c  9431  decaddc2  9438  decrmanc  9439  decrmac  9440  decaddm10  9441  decaddi  9442  decaddci  9443  decaddci2  9444  decmul1  9446  decmulnc  9449  6p5e11  9455  7p4e11  9458  8p3e11  9463  9p2e11  9469  10p10e20  9477  fz01or  10110  0elfz  10117  4fvwrd4  10139  fvinim0ffz  10240  0tonninf  10438  exple1  10575  sq10  10691  bc0k  10735  bcn1  10737  bccl  10746  fihasheq0  10772  fsumnn0cl  11410  binom  11491  bcxmas  11496  isumnn0nn  11500  geoserap  11514  ef0lem  11667  ege2le3  11678  ef4p  11701  efgt1p2  11702  efgt1p  11703  nn0o  11911  ndvdssub  11934  gcdval  11959  gcdcl  11966  dfgcd3  12010  nn0seqcvgd  12040  algcvg  12047  eucalg  12058  lcmcl  12071  pw2dvdslemn  12164  pclem0  12285  pcpre1  12291  pcfac  12347  ennnfonelemj0  12401  ennnfonelem0  12405  ennnfonelem1  12407  slotsdifdsndx  12675  slotsdifunifndx  12682  nn0subm  13447  dveflem  14157  pilem3  14174  1kp2ke3k  14446  ex-fac  14450  012of  14715  isomninnlem  14748  iswomninnlem  14767  iswomni0  14769  ismkvnnlem  14770