Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eucalglt Unicode version

Theorem eucalglt 11914
 Description: The second member of the state decreases with each iteration of the step function for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eucalgval.1
Assertion
Ref Expression
eucalglt
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem eucalglt
StepHypRef Expression
1 eucalgval.1 . . . . . . . 8
21eucalgval 11911 . . . . . . 7
32adantr 274 . . . . . 6
4 simpr 109 . . . . . . . 8
5 iftrue 3510 . . . . . . . . . . . . 13
65eqeq2d 2169 . . . . . . . . . . . 12
7 fveq2 5465 . . . . . . . . . . . 12
86, 7syl6bi 162 . . . . . . . . . . 11
9 eqeq2 2167 . . . . . . . . . . 11
108, 9sylibd 148 . . . . . . . . . 10
113, 10syl5com 29 . . . . . . . . 9
1211necon3ad 2369 . . . . . . . 8
134, 12mpd 13 . . . . . . 7
1413iffalsed 3515 . . . . . 6
153, 14eqtrd 2190 . . . . 5
1615fveq2d 5469 . . . 4
17 xp2nd 6108 . . . . . 6
1817adantr 274 . . . . 5
19 1st2nd2 6117 . . . . . . . . 9
2019adantr 274 . . . . . . . 8
2120fveq2d 5469 . . . . . . 7
22 df-ov 5821 . . . . . . 7
2321, 22eqtr4di 2208 . . . . . 6
24 xp1st 6107 . . . . . . . . 9
2524adantr 274 . . . . . . . 8
2625nn0zd 9267 . . . . . . 7
2713neqned 2334 . . . . . . . 8
28 elnnne0 9087 . . . . . . . 8
2918, 27, 28sylanbrc 414 . . . . . . 7
3026, 29zmodcld 10226 . . . . . 6
3123, 30eqeltrd 2234 . . . . 5
32 op2ndg 6093 . . . . 5
3318, 31, 32syl2anc 409 . . . 4
3416, 33, 233eqtrd 2194 . . 3
35 zq 9517 . . . . 5
3626, 35syl 14 . . . 4
3718nn0zd 9267 . . . . 5
38 zq 9517 . . . . 5
3937, 38syl 14 . . . 4
4029nngt0d 8860 . . . 4
41 modqlt 10214 . . . 4
4236, 39, 40, 41syl3anc 1220 . . 3
4334, 42eqbrtrd 3986 . 2
4443ex 114 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wceq 1335   wcel 2128   wne 2327  cif 3505  cop 3563   class class class wbr 3965   cxp 4581  cfv 5167  (class class class)co 5818   cmpo 5820  c1st 6080  c2nd 6081  cc0 7715   clt 7895  cn 8816  cn0 9073  cz 9150  cq 9510   cmo 10203 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-q 9511  df-rp 9543  df-fl 10151  df-mod 10204 This theorem is referenced by:  eucalgcvga  11915
 Copyright terms: Public domain W3C validator