Theorem opabex3 6028

Description: Existence of an ordered pair abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabex3.1	|- A e. _V
opabex3.2	|- ( x e. A -> { y | ph } e. _V )

Assertion

Ref	Expression
opabex3	|- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabex3

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.42v 1879	. . . . . 6 |- ( E. y ( x e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
2		an12 551	. . . . . . 7 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
3	2	exbii 1585	. . . . . 6 |- ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E. y ( x e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
4		elxp 4564	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. v E. w ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) )
5		excom 1643	. . . . . . . . 9 |- ( E. v E. w ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. w E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) )
6		an12 551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( v e. { x } /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
7		velsn 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. { x } <-> v = x )
8	7	anbi1i 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. { x } /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
9	6, 8	bitri 183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
10	9	exbii 1585	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. v ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
11		vex 2692	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
12		opeq1 3713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = x -> <. v , w >. = <. x , w >. )
13	12	eqeq2d 2152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = x -> ( z = <. v , w >. <-> z = <. x , w >. ) )
14	13	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = x -> ( ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) <-> ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
15	11, 14	ceqsexv 2728	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. v ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
16	10, 15	bitri 183	. . . . . . . . . 10 |- ( E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
17	16	exbii 1585	. . . . . . . . 9 |- ( E. w E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. w ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
18	5, 17	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( E. v E. w ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. w ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
19		nfv 1509	. . . . . . . . . 10 |- F/ y z = <. x , w >.
20		nfsab1 2130	. . . . . . . . . 10 |- F/ y w e. { y | ph }
21	19, 20	nfan 1545	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } )
22		nfv 1509	. . . . . . . . 9 |- F/ w ( z = <. x , y >. /\ ph )
23		opeq2 3714	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> <. x , w >. = <. x , y >. )
24	23	eqeq2d 2152	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( z = <. x , w >. <-> z = <. x , y >. ) )
25		df-clab 2127	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { y | ph } <-> [ w / y ] ph )
26		sbequ12 1745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ph <-> [ w / y ] ph ) )
27	26	equcoms 1685	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( ph <-> [ w / y ] ph ) )
28	25, 27	bitr4id 198	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w e. { y | ph } <-> ph ) )
29	24, 28	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) <-> ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
30	21, 22, 29	cbvex 1730	. . . . . . . 8 |- ( E. w ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
31	4, 18, 30	3bitri 205	. . . . . . 7 |- ( z e. ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
32	31	anbi2i 453	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) <-> ( x e. A /\ E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
33	1, 3, 32	3bitr4ri 212	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
34	33	exbii 1585	. . . 4 |- ( E. x ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
35		eliun 3825	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. x e. A z e. ( { x } X. { y | ph } ) )
36		df-rex 2423	. . . . 5 |- ( E. x e. A z e. ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. x ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) )
37	35, 36	bitri 183	. . . 4 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. x ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) )
38		elopab 4188	. . . 4 |- ( z e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
39	34, 37, 38	3bitr4i 211	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) <-> z e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } )
40	39	eqriv 2137	. 2 |- U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
41		opabex3.1	. . 3 |- A e. _V
42		snexg 4116	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
43	11, 42	ax-mp 5	. . . . 5 |- { x } e. _V
44		opabex3.2	. . . . 5 |- ( x e. A -> { y | ph } e. _V )
45		xpexg 4661	. . . . 5 |- ( ( { x } e. _V /\ { y | ph } e. _V ) -> ( { x } X. { y | ph } ) e. _V )
46	43, 44, 45	sylancr 411	. . . 4 |- ( x e. A -> ( { x } X. { y | ph } ) e. _V )
47	46	rgen 2488	. . 3 |- A. x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V
48		iunexg 6025	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V ) -> U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V )
49	41, 47, 48	mp2an 423	. 2 |- U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V
50	40, 49	eqeltrri 2214	1 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   [wsb 1736   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   {csn 3532   <.cop 3535   U_ciun 3821   {copab 3996   X. cxp 4545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139

This theorem is referenced by: (None)