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Theorem opabex3 6099
Description: Existence of an ordered pair abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex3.1  |-  A  e. 
_V
opabex3.2  |-  ( x  e.  A  ->  { y  |  ph }  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
opabex3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem opabex3
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1899 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) ) )
2 an12 556 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
32exbii 1598 . . . . . 6  |-  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
4 elxp 4626 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. v E. w ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
5 excom 1657 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
6 an12 556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( v  e.  { x }  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
7 velsn 3598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { x }  <->  v  =  x )
87anbi1i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  { x }  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) ) )
96, 8bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( v  =  x  /\  (
z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
109exbii 1598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  E. v
( v  =  x  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
11 vex 2733 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
12 opeq1 3763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  <. v ,  w >.  =  <. x ,  w >. )
1312eqeq2d 2182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  x  ->  (
z  =  <. v ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  w >. )
)
1413anbi1d 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) ) )
1511, 14ceqsexv 2769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )
1610, 15bitri 183 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )
1716exbii 1598 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. v ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )
185, 17bitri 183 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )
19 nfv 1521 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  z  =  <. x ,  w >.
20 nfsab1 2160 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  w  e.  { y  |  ph }
2119, 20nfan 1558 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )
22 nfv 1521 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph )
23 opeq2 3764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  <. x ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
2423eqeq2d 2182 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
z  =  <. x ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  y >. )
)
25 df-clab 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { y  | 
ph }  <->  [ w  /  y ] ph )
26 sbequ12 1764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( ph 
<->  [ w  /  y ] ph ) )
2726equcoms 1701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( ph 
<->  [ w  /  y ] ph ) )
2825, 27bitr4id 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  { y  |  ph }  <->  ph ) )
2924, 28anbi12d 470 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) ) )
3021, 22, 29cbvex 1749 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( z  = 
<. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) )
314, 18, 303bitri 205 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
3231anbi2i 454 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
331, 3, 323bitr4ri 212 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
3433exbii 1598 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
35 eliun 3875 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) )
36 df-rex 2454 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) ) )
3735, 36bitri 183 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) ) )
38 elopab 4241 . . . 4  |-  ( z  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
3934, 37, 383bitr4i 211 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  z  e.  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) } )
4039eqriv 2167 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
41 opabex3.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
42 snexg 4168 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  { x }  e.  _V )
4311, 42ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x }  e.  _V
44 opabex3.2 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  { y  |  ph }  e.  _V )
45 xpexg 4723 . . . . 5  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  { y  | 
ph }  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  e. 
_V )
4643, 44, 45sylancr 412 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )
4746rgen 2523 . . 3  |-  A. x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  e.  _V
48 iunexg 6096 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )
4941, 47, 48mp2an 424 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  e.  _V
5040, 49eqeltrri 2244 1  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348   E.wex 1485   [wsb 1755    e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   {csn 3581   <.cop 3584   U_ciun 3871   {copab 4047    X. cxp 4607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204
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