Theorem opabex3 6099

Description: Existence of an ordered pair abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabex3.1	|- A e. _V
opabex3.2	|- ( x e. A -> { y | ph } e. _V )

Assertion

Ref	Expression
opabex3	|- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabex3

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.42v 1899	. . . . . 6 |- ( E. y ( x e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
2		an12 556	. . . . . . 7 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
3	2	exbii 1598	. . . . . 6 |- ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E. y ( x e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
4		elxp 4626	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. v E. w ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) )
5		excom 1657	. . . . . . . . 9 |- ( E. v E. w ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. w E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) )
6		an12 556	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( v e. { x } /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
7		velsn 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. { x } <-> v = x )
8	7	anbi1i 455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. { x } /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
9	6, 8	bitri 183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
10	9	exbii 1598	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. v ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
11		vex 2733	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
12		opeq1 3763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = x -> <. v , w >. = <. x , w >. )
13	12	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = x -> ( z = <. v , w >. <-> z = <. x , w >. ) )
14	13	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = x -> ( ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) <-> ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
15	11, 14	ceqsexv 2769	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. v ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
16	10, 15	bitri 183	. . . . . . . . . 10 |- ( E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
17	16	exbii 1598	. . . . . . . . 9 |- ( E. w E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. w ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
18	5, 17	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( E. v E. w ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. w ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
19		nfv 1521	. . . . . . . . . 10 |- F/ y z = <. x , w >.
20		nfsab1 2160	. . . . . . . . . 10 |- F/ y w e. { y | ph }
21	19, 20	nfan 1558	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } )
22		nfv 1521	. . . . . . . . 9 |- F/ w ( z = <. x , y >. /\ ph )
23		opeq2 3764	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> <. x , w >. = <. x , y >. )
24	23	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( z = <. x , w >. <-> z = <. x , y >. ) )
25		df-clab 2157	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { y | ph } <-> [ w / y ] ph )
26		sbequ12 1764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ph <-> [ w / y ] ph ) )
27	26	equcoms 1701	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( ph <-> [ w / y ] ph ) )
28	25, 27	bitr4id 198	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w e. { y | ph } <-> ph ) )
29	24, 28	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) <-> ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
30	21, 22, 29	cbvex 1749	. . . . . . . 8 |- ( E. w ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
31	4, 18, 30	3bitri 205	. . . . . . 7 |- ( z e. ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
32	31	anbi2i 454	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) <-> ( x e. A /\ E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
33	1, 3, 32	3bitr4ri 212	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
34	33	exbii 1598	. . . 4 |- ( E. x ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
35		eliun 3875	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. x e. A z e. ( { x } X. { y | ph } ) )
36		df-rex 2454	. . . . 5 |- ( E. x e. A z e. ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. x ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) )
37	35, 36	bitri 183	. . . 4 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. x ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) )
38		elopab 4241	. . . 4 |- ( z e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
39	34, 37, 38	3bitr4i 211	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) <-> z e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } )
40	39	eqriv 2167	. 2 |- U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
41		opabex3.1	. . 3 |- A e. _V
42		snexg 4168	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
43	11, 42	ax-mp 5	. . . . 5 |- { x } e. _V
44		opabex3.2	. . . . 5 |- ( x e. A -> { y | ph } e. _V )
45		xpexg 4723	. . . . 5 |- ( ( { x } e. _V /\ { y | ph } e. _V ) -> ( { x } X. { y | ph } ) e. _V )
46	43, 44, 45	sylancr 412	. . . 4 |- ( x e. A -> ( { x } X. { y | ph } ) e. _V )
47	46	rgen 2523	. . 3 |- A. x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V
48		iunexg 6096	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V ) -> U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V )
49	41, 47, 48	mp2an 424	. 2 |- U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V
50	40, 49	eqeltrri 2244	1 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   [wsb 1755   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   {csn 3581   <.cop 3584   U_ciun 3871   {copab 4047   X. cxp 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204

This theorem is referenced by: (None)