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Theorem opabex3 5931
Description: Existence of an ordered pair abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex3.1  |-  A  e. 
_V
opabex3.2  |-  ( x  e.  A  ->  { y  |  ph }  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
opabex3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem opabex3
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1841 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) ) )
2 an12 529 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
32exbii 1548 . . . . . 6  |-  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
4 elxp 4484 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. v E. w ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
5 excom 1606 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
6 an12 529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( v  e.  { x }  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
7 velsn 3483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { x }  <->  v  =  x )
87anbi1i 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  { x }  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) ) )
96, 8bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( v  =  x  /\  (
z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
109exbii 1548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  E. v
( v  =  x  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) ) )
11 vex 2636 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
12 opeq1 3644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  <. v ,  w >.  =  <. x ,  w >. )
1312eqeq2d 2106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  x  ->  (
z  =  <. v ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  w >. )
)
1413anbi1d 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) ) )
1511, 14ceqsexv 2672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )
1610, 15bitri 183 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )
1716exbii 1548 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. v ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )
185, 17bitri 183 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } ) )
19 nfv 1473 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  z  =  <. x ,  w >.
20 nfsab1 2085 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  w  e.  { y  |  ph }
2119, 20nfan 1509 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )
22 nfv 1473 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph )
23 opeq2 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  <. x ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
2423eqeq2d 2106 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
z  =  <. x ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  y >. )
)
25 sbequ12 1708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( ph 
<->  [ w  /  y ] ph ) )
2625equcoms 1648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( ph 
<->  [ w  /  y ] ph ) )
27 df-clab 2082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { y  | 
ph }  <->  [ w  /  y ] ph )
2826, 27syl6rbbr 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  { y  |  ph }  <->  ph ) )
2924, 28anbi12d 458 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) ) )
3021, 22, 29cbvex 1693 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( z  = 
<. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ph } )  <->  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) )
314, 18, 303bitri 205 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
3231anbi2i 446 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
331, 3, 323bitr4ri 212 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
) )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
3433exbii 1548 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
35 eliun 3756 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) )
36 df-rex 2376 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) ) )
3735, 36bitri 183 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ph } ) ) )
38 elopab 4109 . . . 4  |-  ( z  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
3934, 37, 383bitr4i 211 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  <->  z  e.  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) } )
4039eqriv 2092 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
41 opabex3.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
42 snexg 4040 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  { x }  e.  _V )
4311, 42ax-mp 7 . . . . 5  |-  { x }  e.  _V
44 opabex3.2 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  { y  |  ph }  e.  _V )
45 xpexg 4581 . . . . 5  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  { y  | 
ph }  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  { y  | 
ph } )  e. 
_V )
4643, 44, 45sylancr 406 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )
4746rgen 2439 . . 3  |-  A. x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  e.  _V
48 iunexg 5928 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ph } )  e.  _V )
4941, 47, 48mp2an 418 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ph }
)  e.  _V
5040, 49eqeltrri 2168 1  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1296   E.wex 1433    e. wcel 1445   [wsb 1699   {cab 2081   A.wral 2370   E.wrex 2371   _Vcvv 2633   {csn 3466   <.cop 3469   U_ciun 3752   {copab 3920    X. cxp 4465
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057
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