Theorem opabex3 6117

Description: Existence of an ordered pair abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabex3.1	|- A e. _V
opabex3.2	|- ( x e. A -> { y | ph } e. _V )

Assertion

Ref	Expression
opabex3	|- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabex3

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.42v 1906	. . . . . 6 |- ( E. y ( x e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
2		an12 561	. . . . . . 7 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
3	2	exbii 1605	. . . . . 6 |- ( E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E. y ( x e. A /\ ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
4		elxp 4640	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. v E. w ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) )
5		excom 1664	. . . . . . . . 9 |- ( E. v E. w ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. w E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) )
6		an12 561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( v e. { x } /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
7		velsn 3608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. { x } <-> v = x )
8	7	anbi1i 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. { x } /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
9	6, 8	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
10	9	exbii 1605	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. v ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
11		vex 2740	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
12		opeq1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = x -> <. v , w >. = <. x , w >. )
13	12	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = x -> ( z = <. v , w >. <-> z = <. x , w >. ) )
14	13	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = x -> ( ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) <-> ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) )
15	11, 14	ceqsexv 2776	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. v ( v = x /\ ( z = <. v , w >. /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
16	10, 15	bitri 184	. . . . . . . . . 10 |- ( E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
17	16	exbii 1605	. . . . . . . . 9 |- ( E. w E. v ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. w ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
18	5, 17	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( E. v E. w ( z = <. v , w >. /\ ( v e. { x } /\ w e. { y | ph } ) ) <-> E. w ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) )
19		nfv 1528	. . . . . . . . . 10 |- F/ y z = <. x , w >.
20		nfsab1 2167	. . . . . . . . . 10 |- F/ y w e. { y | ph }
21	19, 20	nfan 1565	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } )
22		nfv 1528	. . . . . . . . 9 |- F/ w ( z = <. x , y >. /\ ph )
23		opeq2 3777	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> <. x , w >. = <. x , y >. )
24	23	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( z = <. x , w >. <-> z = <. x , y >. ) )
25		df-clab 2164	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { y | ph } <-> [ w / y ] ph )
26		sbequ12 1771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ph <-> [ w / y ] ph ) )
27	26	equcoms 1708	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( ph <-> [ w / y ] ph ) )
28	25, 27	bitr4id 199	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w e. { y | ph } <-> ph ) )
29	24, 28	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) <-> ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
30	21, 22, 29	cbvex 1756	. . . . . . . 8 |- ( E. w ( z = <. x , w >. /\ w e. { y | ph } ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
31	4, 18, 30	3bitri 206	. . . . . . 7 |- ( z e. ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
32	31	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) <-> ( x e. A /\ E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
33	1, 3, 32	3bitr4ri 213	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) <-> E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
34	33	exbii 1605	. . . 4 |- ( E. x ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
35		eliun 3888	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. x e. A z e. ( { x } X. { y | ph } ) )
36		df-rex 2461	. . . . 5 |- ( E. x e. A z e. ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. x ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) )
37	35, 36	bitri 184	. . . 4 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) <-> E. x ( x e. A /\ z e. ( { x } X. { y | ph } ) ) )
38		elopab 4255	. . . 4 |- ( z e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
39	34, 37, 38	3bitr4i 212	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) <-> z e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } )
40	39	eqriv 2174	. 2 |- U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
41		opabex3.1	. . 3 |- A e. _V
42		snexg 4181	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
43	11, 42	ax-mp 5	. . . . 5 |- { x } e. _V
44		opabex3.2	. . . . 5 |- ( x e. A -> { y | ph } e. _V )
45		xpexg 4737	. . . . 5 |- ( ( { x } e. _V /\ { y | ph } e. _V ) -> ( { x } X. { y | ph } ) e. _V )
46	43, 44, 45	sylancr 414	. . . 4 |- ( x e. A -> ( { x } X. { y | ph } ) e. _V )
47	46	rgen 2530	. . 3 |- A. x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V
48		iunexg 6114	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ A. x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V ) -> U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V )
49	41, 47, 48	mp2an 426	. 2 |- U_ x e. A ( { x } X. { y | ph } ) e. _V
50	40, 49	eqeltrri 2251	1 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   [wsb 1762   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   {csn 3591   <.cop 3594   U_ciun 3884   {copab 4060   X. cxp 4621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220

This theorem is referenced by: (None)