Theorem en1uniel 6908

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6843	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 4725	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 ∈ V)
3		uniexg 4493	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ V)
4		snidg 3666	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
6		encv 6845	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ∈ V ∧ 1o ∈ V))
7	6	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 ∈ V)
8		en1bg 6904	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ≈ 1o ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ≈ 1o ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
10	9	ibi 176	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 = {∪ 𝑆})
11	5, 10	eleqtrrd 2286	1 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  {csn 3637  ∪ cuni 3855   class class class wbr 4050  1_oc1o 6507   ≈ cen 6837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-suc 4425  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-1o 6514  df-en 6840

This theorem is referenced by:  en1m  6909  en2eleq  7318  en2other2  7319