Theorem en1uniel 7091

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 7026	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 4818	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 ∈ V)
3		uniexg 4585	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ V)
4		snidg 3738	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
6		encv 7028	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ∈ V ∧ 1o ∈ V))
7	6	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 ∈ V)
8		en1bg 7087	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ≈ 1o ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ≈ 1o ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
10	9	ibi 176	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 = {∪ 𝑆})
11	5, 10	eleqtrrd 2318	1 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {csn 3709  ∪ cuni 3935   class class class wbr 4130  1_oc1o 6680   ≈ cen 7020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-en 7023

This theorem is used by:  en1m  7092  en2eleq  7547  en2other2  7548