Theorem en1uniel 6454

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6394	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelexi 4443	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → 𝑆 ∈ V)
3		uniexg 4232	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ V)
4		snidg 3450	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
6		encv 6396	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → (𝑆 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ V))
7	6	simpld 110	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → 𝑆 ∈ V)
8		en1bg 6450	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ≈ 1𝑜 ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → (𝑆 ≈ 1𝑜 ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
10	9	ibi 174	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → 𝑆 = {∪ 𝑆})
11	5, 10	eleqtrrd 2164	1 ⊢ (𝑆 ≈ 1𝑜 → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  Vcvv 2614  {csn 3425  ∪ cuni 3630   class class class wbr 3814  1_𝑜c1o 6109   ≈ cen 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-suc 4165  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-1o 6116  df-en 6391

This theorem is referenced by:  en2eleq  6742  en2other2  6743