ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1uniel GIF version

Theorem en1uniel 6575
Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1uniel (𝑆 ≈ 1o 𝑆𝑆)

Proof of Theorem en1uniel
StepHypRef Expression
1 relen 6515 . . . 4 Rel ≈
21brrelex1i 4494 . . 3 (𝑆 ≈ 1o𝑆 ∈ V)
3 uniexg 4275 . . 3 (𝑆 ∈ V → 𝑆 ∈ V)
4 snidg 3477 . . 3 ( 𝑆 ∈ V → 𝑆 ∈ { 𝑆})
52, 3, 43syl 17 . 2 (𝑆 ≈ 1o 𝑆 ∈ { 𝑆})
6 encv 6517 . . . . 5 (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ∈ V ∧ 1o ∈ V))
76simpld 111 . . . 4 (𝑆 ≈ 1o𝑆 ∈ V)
8 en1bg 6571 . . . 4 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ≈ 1o𝑆 = { 𝑆}))
97, 8syl 14 . . 3 (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ≈ 1o𝑆 = { 𝑆}))
109ibi 175 . 2 (𝑆 ≈ 1o𝑆 = { 𝑆})
115, 10eleqtrrd 2168 1 (𝑆 ≈ 1o 𝑆𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1290  wcel 1439  Vcvv 2620  {csn 3450   cuni 3659   class class class wbr 3851  1oc1o 6188  cen 6509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-suc 4207  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-1o 6195  df-en 6512
This theorem is referenced by:  en2eleq  6882  en2other2  6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator