ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1uniel GIF version

Theorem en1uniel 6698
Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1uniel (𝑆 ≈ 1o 𝑆𝑆)

Proof of Theorem en1uniel
StepHypRef Expression
1 relen 6638 . . . 4 Rel ≈
21brrelex1i 4582 . . 3 (𝑆 ≈ 1o𝑆 ∈ V)
3 uniexg 4361 . . 3 (𝑆 ∈ V → 𝑆 ∈ V)
4 snidg 3554 . . 3 ( 𝑆 ∈ V → 𝑆 ∈ { 𝑆})
52, 3, 43syl 17 . 2 (𝑆 ≈ 1o 𝑆 ∈ { 𝑆})
6 encv 6640 . . . . 5 (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ∈ V ∧ 1o ∈ V))
76simpld 111 . . . 4 (𝑆 ≈ 1o𝑆 ∈ V)
8 en1bg 6694 . . . 4 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ≈ 1o𝑆 = { 𝑆}))
97, 8syl 14 . . 3 (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ≈ 1o𝑆 = { 𝑆}))
109ibi 175 . 2 (𝑆 ≈ 1o𝑆 = { 𝑆})
115, 10eleqtrrd 2219 1 (𝑆 ≈ 1o 𝑆𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686  {csn 3527   cuni 3736   class class class wbr 3929  1oc1o 6306  cen 6632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-en 6635
This theorem is referenced by:  en2eleq  7056  en2other2  7057
  Copyright terms: Public domain W3C validator