Theorem en1uniel 7021

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6956	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 4775	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 ∈ V)
3		uniexg 4542	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ V)
4		snidg 3702	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
6		encv 6958	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ∈ V ∧ 1o ∈ V))
7	6	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 ∈ V)
8		en1bg 7017	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ≈ 1o ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ≈ 1o ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
10	9	ibi 176	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 = {∪ 𝑆})
11	5, 10	eleqtrrd 2311	1 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  {csn 3673  ∪ cuni 3898   class class class wbr 4093  1_oc1o 6618   ≈ cen 6950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-en 6953

This theorem is referenced by:  en1m  7022  en2eleq  7449  en2other2  7450