Theorem en1uniel 7057

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6992	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 4798	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 ∈ V)
3		uniexg 4565	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ V)
4		snidg 3723	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
6		encv 6994	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ∈ V ∧ 1o ∈ V))
7	6	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 ∈ V)
8		en1bg 7053	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ≈ 1o ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ≈ 1o ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
10	9	ibi 176	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 = {∪ 𝑆})
11	5, 10	eleqtrrd 2314	1 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  {csn 3694  ∪ cuni 3919   class class class wbr 4114  1_oc1o 6653   ≈ cen 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-en 6989

This theorem is referenced by:  en1m  7058  en2eleq  7511  en2other2  7512