Theorem en1uniel 6858

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6798	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelex1i 4702	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 ∈ V)
3		uniexg 4470	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ V)
4		snidg 3647	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
6		encv 6800	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ∈ V ∧ 1o ∈ V))
7	6	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 ∈ V)
8		en1bg 6854	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ≈ 1o ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → (𝑆 ≈ 1o ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆}))
10	9	ibi 176	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 = {∪ 𝑆})
11	5, 10	eleqtrrd 2273	1 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  {csn 3618  ∪ cuni 3835   class class class wbr 4029  1_oc1o 6462   ≈ cen 6792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1o 6469  df-en 6795

This theorem is referenced by:  en2eleq  7255  en2other2  7256