Theorem 2dom 6805

Description: A set that dominates ordinal 2 has at least 2 different members. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2dom	|- ( 2o ~<_ A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem 2dom

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df2o2 6432	. . . 4 |- 2o = { (/) , { (/) } }
2	1	breq1i 4011	. . 3 |- ( 2o ~<_ A <-> { (/) , { (/) } } ~<_ A )
3		brdomi 6749	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } ~<_ A -> E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A )
4	2, 3	sylbi 121	. 2 |- ( 2o ~<_ A -> E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A )
5		f1f 5422	. . . . 5 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> f : { (/) , { (/) } } --> A )
6		0ex 4131	. . . . . 6 |- (/) e. _V
7	6	prid1 3699	. . . . 5 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
8		ffvelcdm 5650	. . . . 5 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } --> A /\ (/) e. { (/) , { (/) } } ) -> ( f ` (/) ) e. A )
9	5, 7, 8	sylancl 413	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( f ` (/) ) e. A )
10		p0ex 4189	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
11	10	prid2 3700	. . . . 5 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
12		ffvelcdm 5650	. . . . 5 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } --> A /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) -> ( f ` { (/) } ) e. A )
13	5, 11, 12	sylancl 413	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( f ` { (/) } ) e. A )
14		0nep0 4166	. . . . . 6 |- (/) =/= { (/) }
15	14	neii 2349	. . . . 5 |- -. (/) = { (/) }
16		f1fveq 5773	. . . . . 6 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A /\ ( (/) e. { (/) , { (/) } } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) ) -> ( ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) <-> (/) = { (/) } ) )
17	7, 11, 16	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) <-> (/) = { (/) } ) )
18	15, 17	mtbiri 675	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) )
19		eqeq1 2184	. . . . . 6 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( x = y <-> ( f ` (/) ) = y ) )
20	19	notbid 667	. . . . 5 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( -. x = y <-> -. ( f ` (/) ) = y ) )
21		eqeq2 2187	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` { (/) } ) -> ( ( f ` (/) ) = y <-> ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) )
22	21	notbid 667	. . . . 5 |- ( y = ( f ` { (/) } ) -> ( -. ( f ` (/) ) = y <-> -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) )
23	20, 22	rspc2ev 2857	. . . 4 |- ( ( ( f ` (/) ) e. A /\ ( f ` { (/) } ) e. A /\ -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
24	9, 13, 18, 23	syl3anc 1238	. . 3 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
25	24	exlimiv 1598	. 2 |- ( E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
26	4, 25	syl 14	1 |- ( 2o ~<_ A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   E.wrex 2456   (/)c0 3423   {csn 3593   {cpr 3594   class class class wbr 4004   -->wf 5213   -1-1->wf1 5214   ` cfv 5217   2oc2o 6411   ~<_ cdom 6739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-suc 4372  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fv 5225  df-1o 6417  df-2o 6418  df-dom 6742

This theorem is referenced by: (None)