Theorem 2dom 6958

Description: A set that dominates ordinal 2 has at least 2 different members. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2dom	|- ( 2o ~<_ A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem 2dom

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df2o2 6577	. . . 4 |- 2o = { (/) , { (/) } }
2	1	breq1i 4090	. . 3 |- ( 2o ~<_ A <-> { (/) , { (/) } } ~<_ A )
3		brdomi 6898	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } ~<_ A -> E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A )
4	2, 3	sylbi 121	. 2 |- ( 2o ~<_ A -> E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A )
5		f1f 5531	. . . . 5 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> f : { (/) , { (/) } } --> A )
6		0ex 4211	. . . . . 6 |- (/) e. _V
7	6	prid1 3772	. . . . 5 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
8		ffvelcdm 5768	. . . . 5 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } --> A /\ (/) e. { (/) , { (/) } } ) -> ( f ` (/) ) e. A )
9	5, 7, 8	sylancl 413	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( f ` (/) ) e. A )
10		p0ex 4272	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
11	10	prid2 3773	. . . . 5 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
12		ffvelcdm 5768	. . . . 5 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } --> A /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) -> ( f ` { (/) } ) e. A )
13	5, 11, 12	sylancl 413	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( f ` { (/) } ) e. A )
14		0nep0 4249	. . . . . 6 |- (/) =/= { (/) }
15	14	neii 2402	. . . . 5 |- -. (/) = { (/) }
16		f1fveq 5896	. . . . . 6 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A /\ ( (/) e. { (/) , { (/) } } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) ) -> ( ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) <-> (/) = { (/) } ) )
17	7, 11, 16	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) <-> (/) = { (/) } ) )
18	15, 17	mtbiri 679	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) )
19		eqeq1 2236	. . . . . 6 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( x = y <-> ( f ` (/) ) = y ) )
20	19	notbid 671	. . . . 5 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( -. x = y <-> -. ( f ` (/) ) = y ) )
21		eqeq2 2239	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` { (/) } ) -> ( ( f ` (/) ) = y <-> ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) )
22	21	notbid 671	. . . . 5 |- ( y = ( f ` { (/) } ) -> ( -. ( f ` (/) ) = y <-> -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) )
23	20, 22	rspc2ev 2922	. . . 4 |- ( ( ( f ` (/) ) e. A /\ ( f ` { (/) } ) e. A /\ -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
24	9, 13, 18, 23	syl3anc 1271	. . 3 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
25	24	exlimiv 1644	. 2 |- ( E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
26	4, 25	syl 14	1 |- ( 2o ~<_ A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   E.wrex 2509   (/)c0 3491   {csn 3666   {cpr 3667   class class class wbr 4083   -->wf 5314   -1-1->wf1 5315   ` cfv 5318   2oc2o 6556   ~<_ cdom 6886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fv 5326  df-1o 6562  df-2o 6563  df-dom 6889

This theorem is referenced by:  fundm2domnop0  11067  isnzr2  14148