Theorem 2dom 7059

Description: A set that dominates ordinal 2 has at least 2 different members. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2dom	|- ( 2o ~<_ A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem 2dom

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df2o2 6676	. . . 4 |- 2o = { (/) , { (/) } }
2	1	breq1i 4121	. . 3 |- ( 2o ~<_ A <-> { (/) , { (/) } } ~<_ A )
3		brdomi 6999	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } ~<_ A -> E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A )
4	2, 3	sylbi 121	. 2 |- ( 2o ~<_ A -> E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A )
5		f1f 5578	. . . . 5 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> f : { (/) , { (/) } } --> A )
6		0ex 4242	. . . . . 6 |- (/) e. _V
7	6	prid1 3802	. . . . 5 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
8		ffvelcdm 5815	. . . . 5 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } --> A /\ (/) e. { (/) , { (/) } } ) -> ( f ` (/) ) e. A )
9	5, 7, 8	sylancl 413	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( f ` (/) ) e. A )
10		p0ex 4306	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
11	10	prid2 3803	. . . . 5 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
12		ffvelcdm 5815	. . . . 5 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } --> A /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) -> ( f ` { (/) } ) e. A )
13	5, 11, 12	sylancl 413	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( f ` { (/) } ) e. A )
14		0nep0 4283	. . . . . 6 |- (/) =/= { (/) }
15	14	neii 2416	. . . . 5 |- -. (/) = { (/) }
16		f1fveq 5951	. . . . . 6 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A /\ ( (/) e. { (/) , { (/) } } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) ) -> ( ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) <-> (/) = { (/) } ) )
17	7, 11, 16	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) <-> (/) = { (/) } ) )
18	15, 17	mtbiri 682	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) )
19		eqeq1 2241	. . . . . 6 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( x = y <-> ( f ` (/) ) = y ) )
20	19	notbid 673	. . . . 5 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( -. x = y <-> -. ( f ` (/) ) = y ) )
21		eqeq2 2244	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` { (/) } ) -> ( ( f ` (/) ) = y <-> ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) )
22	21	notbid 673	. . . . 5 |- ( y = ( f ` { (/) } ) -> ( -. ( f ` (/) ) = y <-> -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) )
23	20, 22	rspc2ev 2939	. . . 4 |- ( ( ( f ` (/) ) e. A /\ ( f ` { (/) } ) e. A /\ -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
24	9, 13, 18, 23	syl3anc 1274	. . 3 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
25	24	exlimiv 1647	. 2 |- ( E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
26	4, 25	syl 14	1 |- ( 2o ~<_ A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   E.wrex 2523   (/)c0 3512   {csn 3694   {cpr 3695   class class class wbr 4114   -->wf 5353   -1-1->wf1 5354   ` cfv 5357   2oc2o 6654   ~<_ cdom 6987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  fundm2domnop0  11245  isnzr2  14429