Theorem eninl 7053

Description: Equinumerosity of a set and its image under left injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninl	|- ( A e. V -> (inl " A ) ~~ A )

Proof of Theorem eninl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1or 7012	. . . 4 |- (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A )
2		f1oeng 6714	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A ) ) -> A ~~ ( { (/) } X. A ) )
3	1, 2	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. V -> A ~~ ( { (/) } X. A ) )
4		df-ima 4611	. . . 4 |- (inl " A ) = ran (inl |` A )
5		dff1o5 5435	. . . . . 6 |- ( (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A ) <-> ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( { (/) } X. A ) /\ ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A ) ) )
6	1, 5	mpbi 144	. . . . 5 |- ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( { (/) } X. A ) /\ ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A ) )
7	6	simpri 112	. . . 4 |- ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A )
8	4, 7	eqtri 2185	. . 3 |- (inl " A ) = ( { (/) } X. A )
9	3, 8	breqtrrdi 4018	. 2 |- ( A e. V -> A ~~ (inl " A ) )
10	9	ensymd 6740	1 |- ( A e. V -> (inl " A ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   (/)c0 3404   {csn 3570   class class class wbr 3976   X. cxp 4596   ran crn 4599   |` cres 4600   "cima 4601   -1-1->wf1 5179   -1-1-onto->wf1o 5181   ~~ cen 6695  inlcinl 7001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-er 6492  df-en 6698  df-inl 7003

This theorem is referenced by:  endjudisj  7157  djuen  7158