Theorem eninl 6932

Description: Equinumerosity of a set and its image under left injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninl	|- ( A e. V -> (inl " A ) ~~ A )

Proof of Theorem eninl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1or 6891	. . . 4 |- (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A )
2		f1oeng 6603	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A ) ) -> A ~~ ( { (/) } X. A ) )
3	1, 2	mpan2 419	. . 3 |- ( A e. V -> A ~~ ( { (/) } X. A ) )
4		df-ima 4510	. . . 4 |- (inl " A ) = ran (inl |` A )
5		dff1o5 5330	. . . . . 6 |- ( (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A ) <-> ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( { (/) } X. A ) /\ ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A ) ) )
6	1, 5	mpbi 144	. . . . 5 |- ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( { (/) } X. A ) /\ ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A ) )
7	6	simpri 112	. . . 4 |- ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A )
8	4, 7	eqtri 2133	. . 3 |- (inl " A ) = ( { (/) } X. A )
9	3, 8	syl6breqr 3933	. 2 |- ( A e. V -> A ~~ (inl " A ) )
10	9	ensymd 6629	1 |- ( A e. V -> (inl " A ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1312   e. wcel 1461   (/)c0 3327   {csn 3491   class class class wbr 3893   X. cxp 4495   ran crn 4498   |` cres 4499   "cima 4500   -1-1->wf1 5076   -1-1-onto->wf1o 5078   ~~ cen 6584  inlcinl 6880

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-er 6381  df-en 6587  df-inl 6882

This theorem is referenced by:  endjudisj  7011  djuen  7012