Theorem eninl 7098

Description: Equinumerosity of a set and its image under left injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninl	|- ( A e. V -> (inl " A ) ~~ A )

Proof of Theorem eninl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1or 7057	. . . 4 |- (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A )
2		f1oeng 6759	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A ) ) -> A ~~ ( { (/) } X. A ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. V -> A ~~ ( { (/) } X. A ) )
4		df-ima 4641	. . . 4 |- (inl " A ) = ran (inl |` A )
5		dff1o5 5472	. . . . . 6 |- ( (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A ) <-> ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( { (/) } X. A ) /\ ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A ) ) )
6	1, 5	mpbi 145	. . . . 5 |- ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( { (/) } X. A ) /\ ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A ) )
7	6	simpri 113	. . . 4 |- ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A )
8	4, 7	eqtri 2198	. . 3 |- (inl " A ) = ( { (/) } X. A )
9	3, 8	breqtrrdi 4047	. 2 |- ( A e. V -> A ~~ (inl " A ) )
10	9	ensymd 6785	1 |- ( A e. V -> (inl " A ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   (/)c0 3424   {csn 3594   class class class wbr 4005   X. cxp 4626   ran crn 4629   |` cres 4630   "cima 4631   -1-1->wf1 5215   -1-1-onto->wf1o 5217   ~~ cen 6740  inlcinl 7046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-er 6537  df-en 6743  df-inl 7048

This theorem is referenced by:  endjudisj  7211  djuen  7212