Theorem eninl 7074

Description: Equinumerosity of a set and its image under left injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninl	|- ( A e. V -> (inl " A ) ~~ A )

Proof of Theorem eninl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1or 7033	. . . 4 |- (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A )
2		f1oeng 6735	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A ) ) -> A ~~ ( { (/) } X. A ) )
3	1, 2	mpan2 423	. . 3 |- ( A e. V -> A ~~ ( { (/) } X. A ) )
4		df-ima 4624	. . . 4 |- (inl " A ) = ran (inl |` A )
5		dff1o5 5451	. . . . . 6 |- ( (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A ) <-> ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( { (/) } X. A ) /\ ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A ) ) )
6	1, 5	mpbi 144	. . . . 5 |- ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( { (/) } X. A ) /\ ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A ) )
7	6	simpri 112	. . . 4 |- ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A )
8	4, 7	eqtri 2191	. . 3 |- (inl " A ) = ( { (/) } X. A )
9	3, 8	breqtrrdi 4031	. 2 |- ( A e. V -> A ~~ (inl " A ) )
10	9	ensymd 6761	1 |- ( A e. V -> (inl " A ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   (/)c0 3414   {csn 3583   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   ran crn 4612   |` cres 4613   "cima 4614   -1-1->wf1 5195   -1-1-onto->wf1o 5197   ~~ cen 6716  inlcinl 7022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-er 6513  df-en 6719  df-inl 7024

This theorem is referenced by:  endjudisj  7187  djuen  7188