Theorem eninl 7158

Description: Equinumerosity of a set and its image under left injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninl	|- ( A e. V -> (inl " A ) ~~ A )

Proof of Theorem eninl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1or 7117	. . . 4 |- (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A )
2		f1oeng 6813	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A ) ) -> A ~~ ( { (/) } X. A ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. V -> A ~~ ( { (/) } X. A ) )
4		df-ima 4673	. . . 4 |- (inl " A ) = ran (inl |` A )
5		dff1o5 5510	. . . . . 6 |- ( (inl |` A ) : A -1-1-onto-> ( { (/) } X. A ) <-> ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( { (/) } X. A ) /\ ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A ) ) )
6	1, 5	mpbi 145	. . . . 5 |- ( (inl |` A ) : A -1-1-> ( { (/) } X. A ) /\ ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A ) )
7	6	simpri 113	. . . 4 |- ran (inl |` A ) = ( { (/) } X. A )
8	4, 7	eqtri 2214	. . 3 |- (inl " A ) = ( { (/) } X. A )
9	3, 8	breqtrrdi 4072	. 2 |- ( A e. V -> A ~~ (inl " A ) )
10	9	ensymd 6839	1 |- ( A e. V -> (inl " A ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   (/)c0 3447   {csn 3619   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   ran crn 4661   |` cres 4662   "cima 4663   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ~~ cen 6794  inlcinl 7106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-er 6589  df-en 6797  df-inl 7108

This theorem is referenced by:  endjudisj  7272  djuen  7273