Theorem eninl 7098

Description: Equinumerosity of a set and its image under left injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem eninl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1or 7057	. . . 4 ⊢ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴)
2		f1oeng 6759	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
4		df-ima 4641	. . . 4 ⊢ (inl “ 𝐴) = ran (inl ↾ 𝐴)
5		dff1o5 5472	. . . . . 6 ⊢ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴) ↔ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({∅} × 𝐴) ∧ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)))
6	1, 5	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({∅} × 𝐴) ∧ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴))
7	6	simpri 113	. . . 4 ⊢ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
8	4, 7	eqtri 2198	. . 3 ⊢ (inl “ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
9	3, 8	breqtrrdi 4047	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (inl “ 𝐴))
10	9	ensymd 6785	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∅c0 3424  {csn 3594   class class class wbr 4005   × cxp 4626  ran crn 4629   ↾ cres 4630   “ cima 4631  –1-1→wf1 5215  –1-1-onto→wf1o 5217   ≈ cen 6740  inlcinl 7046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-er 6537  df-en 6743  df-inl 7048

This theorem is referenced by:  endjudisj  7211  djuen  7212