Theorem eninl 7213

Description: Equinumerosity of a set and its image under left injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem eninl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1or 7172	. . . 4 ⊢ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴)
2		f1oeng 6860	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
4		df-ima 4695	. . . 4 ⊢ (inl “ 𝐴) = ran (inl ↾ 𝐴)
5		dff1o5 5542	. . . . . 6 ⊢ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴) ↔ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({∅} × 𝐴) ∧ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)))
6	1, 5	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({∅} × 𝐴) ∧ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴))
7	6	simpri 113	. . . 4 ⊢ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
8	4, 7	eqtri 2227	. . 3 ⊢ (inl “ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
9	3, 8	breqtrrdi 4092	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (inl “ 𝐴))
10	9	ensymd 6887	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∅c0 3464  {csn 3637   class class class wbr 4050   × cxp 4680  ran crn 4683   ↾ cres 4684   “ cima 4685  –1-1→wf1 5276  –1-1-onto→wf1o 5278   ≈ cen 6837  inlcinl 7161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-er 6632  df-en 6840  df-inl 7163

This theorem is referenced by:  endjudisj  7337  djuen  7338