Theorem eninl 7431

Description: Equinumerosity of a set and its image under left injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem eninl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1or 7390	. . . 4 ⊢ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴)
2		f1oeng 7037	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
4		df-ima 4785	. . . 4 ⊢ (inl “ 𝐴) = ran (inl ↾ 𝐴)
5		dff1o5 5646	. . . . . 6 ⊢ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴) ↔ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({∅} × 𝐴) ∧ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)))
6	1, 5	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({∅} × 𝐴) ∧ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴))
7	6	simpri 113	. . . 4 ⊢ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
8	4, 7	eqtri 2259	. . 3 ⊢ (inl “ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
9	3, 8	breqtrrdi 4170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (inl “ 𝐴))
10	9	ensymd 7064	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  {csn 3708   class class class wbr 4128   × cxp 4770  ran crn 4773   ↾ cres 4774   “ cima 4775  –1-1→wf1 5372  –1-1-onto→wf1o 5374   ≈ cen 7014  inlcinl 7379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-er 6801  df-en 7017  df-inl 7381

This theorem is referenced by:  endjudisj  7560  djuen  7561