Theorem eninl 7062

Description: Equinumerosity of a set and its image under left injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem eninl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djulf1or 7021	. . . 4 ⊢ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴)
2		f1oeng 6723	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
3	1, 2	mpan2 422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
4		df-ima 4617	. . . 4 ⊢ (inl “ 𝐴) = ran (inl ↾ 𝐴)
5		dff1o5 5441	. . . . . 6 ⊢ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({∅} × 𝐴) ↔ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({∅} × 𝐴) ∧ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)))
6	1, 5	mpbi 144	. . . . 5 ⊢ ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({∅} × 𝐴) ∧ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴))
7	6	simpri 112	. . . 4 ⊢ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
8	4, 7	eqtri 2186	. . 3 ⊢ (inl “ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
9	3, 8	breqtrrdi 4024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (inl “ 𝐴))
10	9	ensymd 6749	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∅c0 3409  {csn 3576   class class class wbr 3982   × cxp 4602  ran crn 4605   ↾ cres 4606   “ cima 4607  –1-1→wf1 5185  –1-1-onto→wf1o 5187   ≈ cen 6704  inlcinl 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-er 6501  df-en 6707  df-inl 7012

This theorem is referenced by:  endjudisj  7166  djuen  7167