ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eninl GIF version

Theorem eninl 7095
Description: Equinumerosity of a set and its image under left injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
eninl (𝐴𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem eninl
StepHypRef Expression
1 djulf1or 7054 . . . 4 (inl ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto→({∅} × 𝐴)
2 f1oeng 6756 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (inl ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto→({∅} × 𝐴)) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
31, 2mpan2 425 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
4 df-ima 4639 . . . 4 (inl “ 𝐴) = ran (inl ↾ 𝐴)
5 dff1o5 5470 . . . . . 6 ((inl ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto→({∅} × 𝐴) ↔ ((inl ↾ 𝐴):𝐴1-1→({∅} × 𝐴) ∧ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)))
61, 5mpbi 145 . . . . 5 ((inl ↾ 𝐴):𝐴1-1→({∅} × 𝐴) ∧ ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴))
76simpri 113 . . . 4 ran (inl ↾ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
84, 7eqtri 2198 . . 3 (inl “ 𝐴) = ({∅} × 𝐴)
93, 8breqtrrdi 4045 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (inl “ 𝐴))
109ensymd 6782 1 (𝐴𝑉 → (inl “ 𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  c0 3422  {csn 3592   class class class wbr 4003   × cxp 4624  ran crn 4627  cres 4628  cima 4629  1-1wf1 5213  1-1-ontowf1o 5215  cen 6737  inlcinl 7043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-er 6534  df-en 6740  df-inl 7045
This theorem is referenced by:  endjudisj  7208  djuen  7209
  Copyright terms: Public domain W3C validator