Theorem eninr 7444

Description: Equinumerosity of a set and its image under right injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninr	|- ( A e. V -> (inr " A ) ~~ A )

Proof of Theorem eninr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1or 7403	. . . 4 |- (inr |` A ) : A -1-1-onto-> ( { 1o } X. A )
2		f1oeng 7047	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ (inr |` A ) : A -1-1-onto-> ( { 1o } X. A ) ) -> A ~~ ( { 1o } X. A ) )
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 |- ( A e. V -> A ~~ ( { 1o } X. A ) )
4		df-ima 4789	. . . 4 |- (inr " A ) = ran (inr |` A )
5		dff1o5 5651	. . . . . 6 |- ( (inr |` A ) : A -1-1-onto-> ( { 1o } X. A ) <-> ( (inr |` A ) : A -1-1-> ( { 1o } X. A ) /\ ran (inr |` A ) = ( { 1o } X. A ) ) )
6	1, 5	mpbi 145	. . . . 5 |- ( (inr |` A ) : A -1-1-> ( { 1o } X. A ) /\ ran (inr |` A ) = ( { 1o } X. A ) )
7	6	simpri 113	. . . 4 |- ran (inr |` A ) = ( { 1o } X. A )
8	4, 7	eqtri 2259	. . 3 |- (inr " A ) = ( { 1o } X. A )
9	3, 8	breqtrrdi 4173	. 2 |- ( A e. V -> A ~~ (inr " A ) )
10	9	ensymd 7074	1 |- ( A e. V -> (inr " A ) ~~ A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   class class class wbr 4131   X. cxp 4774   ran crn 4777   |` cres 4778   "cima 4779   -1-1->wf1 5377   -1-1-onto->wf1o 5379   1oc1o 6684   ~~ cen 7024  inrcinr 7392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-inr 7394

This theorem is used by:  endjudisj  7572  djuen  7573