Theorem eninr 7073

Description: Equinumerosity of a set and its image under right injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninr	|- ( A e. V -> (inr " A ) ~~ A )

Proof of Theorem eninr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1or 7032	. . . 4 |- (inr |` A ) : A -1-1-onto-> ( { 1o } X. A )
2		f1oeng 6733	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ (inr |` A ) : A -1-1-onto-> ( { 1o } X. A ) ) -> A ~~ ( { 1o } X. A ) )
3	1, 2	mpan2 423	. . 3 |- ( A e. V -> A ~~ ( { 1o } X. A ) )
4		df-ima 4622	. . . 4 |- (inr " A ) = ran (inr |` A )
5		dff1o5 5449	. . . . . 6 |- ( (inr |` A ) : A -1-1-onto-> ( { 1o } X. A ) <-> ( (inr |` A ) : A -1-1-> ( { 1o } X. A ) /\ ran (inr |` A ) = ( { 1o } X. A ) ) )
6	1, 5	mpbi 144	. . . . 5 |- ( (inr |` A ) : A -1-1-> ( { 1o } X. A ) /\ ran (inr |` A ) = ( { 1o } X. A ) )
7	6	simpri 112	. . . 4 |- ran (inr |` A ) = ( { 1o } X. A )
8	4, 7	eqtri 2191	. . 3 |- (inr " A ) = ( { 1o } X. A )
9	3, 8	breqtrrdi 4029	. 2 |- ( A e. V -> A ~~ (inr " A ) )
10	9	ensymd 6759	1 |- ( A e. V -> (inr " A ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {csn 3581   class class class wbr 3987   X. cxp 4607   ran crn 4610   |` cres 4611   "cima 4612   -1-1->wf1 5193   -1-1-onto->wf1o 5195   1oc1o 6386   ~~ cen 6714  inrcinr 7021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-1o 6393  df-er 6511  df-en 6717  df-inr 7023

This theorem is referenced by:  endjudisj  7180  djuen  7181