Theorem exmidundifim 4186

Description: Excluded middle is equivalent to every subset having a complement. Variation of exmidundif 4185 with an implication rather than a biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
exmidundifim	|- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidundifim

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undifss 3489	. . . . . . 7 |- ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
2	1	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
3	2	adantl 275	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
4		elun1 3289	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. x -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
5	4	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
6		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. y )
7		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
8	6, 7	eldifd 3126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( y \ x ) )
9		elun2 3290	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( y \ x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
11		exmidexmid 4175	. . . . . . . . . . 11 |- (EXMID -> DECID z e. x )
12		exmiddc 826	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID z e. x -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- (EXMID -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
14	13	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
15	5, 10, 14	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
16	15	ex 114	. . . . . . 7 |- (EXMID -> ( z e. y -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) ) )
17	16	ssrdv 3148	. . . . . 6 |- (EXMID -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
18	17	adantr 274	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
19	3, 18	eqssd 3159	. . . 4 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = y )
20	19	ex 114	. . 3 |- (EXMID -> ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
21	20	alrimivv 1863	. 2 |- (EXMID -> A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
22		vex 2729	. . . . . 6 |- z e. _V
23		p0ex 4167	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
24		sseq12 3167	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x C_ y <-> z C_ { (/) } ) )
25		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> x = z )
26		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> y = { (/) } )
27	26, 25	difeq12d 3241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( y \ x ) = ( { (/) } \ z ) )
28	25, 27	uneq12d 3277	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
29	28, 26	eqeq12d 2180	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x u. ( y \ x ) ) = y <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
30	24, 29	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) <-> ( z C_ { (/) } -> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
31	30	spc2gv 2817	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
32	22, 23, 31	mp2an 423	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
33		0ex 4109	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
34	33	snid 3607	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
35		eleq2 2230	. . . . . . 7 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> (/) e. { (/) } ) )
36	34, 35	mpbiri 167	. . . . . 6 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
37		eldifn 3245	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( { (/) } \ z ) -> -. (/) e. z )
38	37	orim2i 751	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) -> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
39		elun 3263	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) )
40		df-dc 825	. . . . . . 7 |- (DECID (/) e. z <-> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
41	38, 39, 40	3imtr4i 200	. . . . . 6 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) -> DECID (/) e. z )
42	36, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> DECID (/) e. z )
43	32, 42	syl6 33	. . . 4 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
44	43	alrimiv 1862	. . 3 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
45		df-exmid 4174	. . 3 |- (EXMID <-> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
46	44, 45	sylibr 133	. 2 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> EXMID )
47	21, 46	impbii 125	1 |- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576  EXMIDwem 4173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-exmid 4174

This theorem is referenced by: (None)