Theorem exmidundifim 4267

Description: Excluded middle is equivalent to every subset having a complement. Variation of exmidundif 4266 with an implication rather than a biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
exmidundifim	|- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidundifim

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undifss 3549	. . . . . . 7 |- ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
2	1	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
3	2	adantl 277	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
4		elun1 3348	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. x -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
6		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. y )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
8	6, 7	eldifd 3184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( y \ x ) )
9		elun2 3349	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( y \ x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
11		exmidexmid 4256	. . . . . . . . . . 11 |- (EXMID -> DECID z e. x )
12		exmiddc 838	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID z e. x -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- (EXMID -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
15	5, 10, 14	mpjaodan 800	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
16	15	ex 115	. . . . . . 7 |- (EXMID -> ( z e. y -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) ) )
17	16	ssrdv 3207	. . . . . 6 |- (EXMID -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
19	3, 18	eqssd 3218	. . . 4 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = y )
20	19	ex 115	. . 3 |- (EXMID -> ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
21	20	alrimivv 1899	. 2 |- (EXMID -> A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
22		vex 2779	. . . . . 6 |- z e. _V
23		p0ex 4248	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
24		sseq12 3226	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x C_ y <-> z C_ { (/) } ) )
25		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> x = z )
26		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> y = { (/) } )
27	26, 25	difeq12d 3300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( y \ x ) = ( { (/) } \ z ) )
28	25, 27	uneq12d 3336	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
29	28, 26	eqeq12d 2222	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x u. ( y \ x ) ) = y <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
30	24, 29	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) <-> ( z C_ { (/) } -> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
31	30	spc2gv 2871	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
32	22, 23, 31	mp2an 426	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
33		0ex 4187	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
34	33	snid 3674	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
35		eleq2 2271	. . . . . . 7 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> (/) e. { (/) } ) )
36	34, 35	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
37		eldifn 3304	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( { (/) } \ z ) -> -. (/) e. z )
38	37	orim2i 763	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) -> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
39		elun 3322	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) )
40		df-dc 837	. . . . . . 7 |- (DECID (/) e. z <-> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
41	38, 39, 40	3imtr4i 201	. . . . . 6 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) -> DECID (/) e. z )
42	36, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> DECID (/) e. z )
43	32, 42	syl6 33	. . . 4 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
44	43	alrimiv 1898	. . 3 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
45		df-exmid 4255	. . 3 |- (EXMID <-> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
46	44, 45	sylibr 134	. 2 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> EXMID )
47	21, 46	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   \ cdif 3171   u. cun 3172   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643  EXMIDwem 4254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-exmid 4255

This theorem is referenced by: (None)