Theorem exmidundifim 4138

Description: Excluded middle is equivalent to every subset having a complement. Variation of exmidundif 4137 with an implication rather than a biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
exmidundifim	|- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidundifim

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undifss 3448	. . . . . . 7 |- ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
2	1	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
3	2	adantl 275	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
4		elun1 3248	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. x -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
5	4	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
6		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. y )
7		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
8	6, 7	eldifd 3086	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( y \ x ) )
9		elun2 3249	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( y \ x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
11		exmidexmid 4128	. . . . . . . . . . 11 |- (EXMID -> DECID z e. x )
12		exmiddc 822	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID z e. x -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- (EXMID -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
14	13	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
15	5, 10, 14	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
16	15	ex 114	. . . . . . 7 |- (EXMID -> ( z e. y -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) ) )
17	16	ssrdv 3108	. . . . . 6 |- (EXMID -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
18	17	adantr 274	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
19	3, 18	eqssd 3119	. . . 4 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = y )
20	19	ex 114	. . 3 |- (EXMID -> ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
21	20	alrimivv 1848	. 2 |- (EXMID -> A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
22		vex 2692	. . . . . 6 |- z e. _V
23		p0ex 4120	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
24		sseq12 3127	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x C_ y <-> z C_ { (/) } ) )
25		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> x = z )
26		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> y = { (/) } )
27	26, 25	difeq12d 3200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( y \ x ) = ( { (/) } \ z ) )
28	25, 27	uneq12d 3236	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
29	28, 26	eqeq12d 2155	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x u. ( y \ x ) ) = y <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
30	24, 29	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) <-> ( z C_ { (/) } -> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
31	30	spc2gv 2780	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
32	22, 23, 31	mp2an 423	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
33		0ex 4063	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
34	33	snid 3563	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
35		eleq2 2204	. . . . . . 7 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> (/) e. { (/) } ) )
36	34, 35	mpbiri 167	. . . . . 6 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
37		eldifn 3204	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( { (/) } \ z ) -> -. (/) e. z )
38	37	orim2i 751	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) -> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
39		elun 3222	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) )
40		df-dc 821	. . . . . . 7 |- (DECID (/) e. z <-> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
41	38, 39, 40	3imtr4i 200	. . . . . 6 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) -> DECID (/) e. z )
42	36, 41	syl 14	. . . . 5 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> DECID (/) e. z )
43	32, 42	syl6 33	. . . 4 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
44	43	alrimiv 1847	. . 3 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
45		df-exmid 4127	. . 3 |- (EXMID <-> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
46	44, 45	sylibr 133	. 2 |- ( A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> EXMID )
47	21, 46	impbii 125	1 |- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   \ cdif 3073   u. cun 3074   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532  EXMIDwem 4126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-exmid 4127

This theorem is referenced by: (None)