Theorem f1domg 7010

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dmex 6318	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		f1f 5578	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3		fex 5920	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
5	1, 4	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
6	5	expcom 116	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 ∈ V))
7		f1eq1 5573	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
8	7	spcegv 2907	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
9	6, 8	syli 37	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
10		brdomg 6998	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
11	9, 10	sylibrd 169	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   class class class wbr 4114  ⟶wf 5353  –1-1→wf1 5354   ≼ cdom 6987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  f1dom  7012  dom2d  7025  usgriedgdomord  16346  uspgredgdomord  16350  exmidsbthrlem  16928