Theorem f1domg 6724

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dmex 6084	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		f1f 5393	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3		fex 5714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4	2, 3	sylan 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
5	1, 4	syldan 280	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
6	5	expcom 115	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 ∈ V))
7		f1eq1 5388	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵))
8	7	spcegv 2814	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
9	6, 8	syli 37	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
10		brdomg 6714	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
11	9, 10	sylibrd 168	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   class class class wbr 3982  ⟶wf 5184  –1-1→wf1 5185   ≼ cdom 6705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-dom 6708

This theorem is referenced by:  f1dom  6726  dom2d  6739  exmidsbthrlem  13901