ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1domg GIF version

Theorem f1domg 6555
Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1domg (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem f1domg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1dmex 5925 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2 f1f 5251 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
3 fex 5563 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
42, 3sylan 278 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
51, 4syldan 277 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐹 ∈ V)
65expcom 115 . . 3 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 ∈ V))
7 f1eq1 5246 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵))
87spcegv 2721 . . 3 (𝐹 ∈ V → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
96, 8syli 37 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
10 brdomg 6545 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
119, 10sylibrd 168 1 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wex 1433  wcel 1445  Vcvv 2633   class class class wbr 3867  wf 5045  1-1wf1 5046  cdom 6536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-dom 6539
This theorem is referenced by:  f1dom  6557  dom2d  6570  exmidsbthrlem  12633
  Copyright terms: Public domain W3C validator