Theorem fict 6846

Description: A finite set is dominated by om. Also see finct 7093. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fict	|- ( A e. Fin -> A ~<_ om )

Proof of Theorem fict

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6739	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 119	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3		simprr 527	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
4		omex 4577	. . . . 5 |- om e. _V
5		ordom 4591	. . . . . 6 |- Ord om
6		ordelss 4364	. . . . . 6 |- ( ( Ord om /\ n e. om ) -> n C_ om )
7	5, 6	mpan 422	. . . . 5 |- ( n e. om -> n C_ om )
8		ssdomg 6756	. . . . 5 |- ( om e. _V -> ( n C_ om -> n ~<_ om ) )
9	4, 7, 8	mpsyl 65	. . . 4 |- ( n e. om -> n ~<_ om )
10	9	ad2antrl 487	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n ~<_ om )
11		endomtr 6768	. . 3 |- ( ( A ~~ n /\ n ~<_ om ) -> A ~<_ om )
12	3, 10, 11	syl2anc 409	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~<_ om )
13	2, 12	rexlimddv 2592	1 |- ( A e. Fin -> A ~<_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   Ord word 4347   omcom 4574   ~~ cen 6716   ~<_ cdom 6717   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721

This theorem is referenced by: (None)