Theorem fict 6868

Description: A finite set is dominated by om. Also see finct 7115. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fict	|- ( A e. Fin -> A ~<_ om )

Proof of Theorem fict

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6761	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3		simprr 531	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
4		omex 4593	. . . . 5 |- om e. _V
5		ordom 4607	. . . . . 6 |- Ord om
6		ordelss 4380	. . . . . 6 |- ( ( Ord om /\ n e. om ) -> n C_ om )
7	5, 6	mpan 424	. . . . 5 |- ( n e. om -> n C_ om )
8		ssdomg 6778	. . . . 5 |- ( om e. _V -> ( n C_ om -> n ~<_ om ) )
9	4, 7, 8	mpsyl 65	. . . 4 |- ( n e. om -> n ~<_ om )
10	9	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n ~<_ om )
11		endomtr 6790	. . 3 |- ( ( A ~~ n /\ n ~<_ om ) -> A ~<_ om )
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~<_ om )
13	2, 12	rexlimddv 2599	1 |- ( A e. Fin -> A ~<_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   E.wrex 2456   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   class class class wbr 4004   Ord word 4363   omcom 4590   ~~ cen 6738   ~<_ cdom 6739   Fincfn 6740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743

This theorem is referenced by: (None)