Theorem fict 6770

Description: A finite set is dominated by om. Also see finct 7009. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fict	|- ( A e. Fin -> A ~<_ om )

Proof of Theorem fict

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6663	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 119	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3		simprr 522	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
4		omex 4515	. . . . 5 |- om e. _V
5		ordom 4528	. . . . . 6 |- Ord om
6		ordelss 4309	. . . . . 6 |- ( ( Ord om /\ n e. om ) -> n C_ om )
7	5, 6	mpan 421	. . . . 5 |- ( n e. om -> n C_ om )
8		ssdomg 6680	. . . . 5 |- ( om e. _V -> ( n C_ om -> n ~<_ om ) )
9	4, 7, 8	mpsyl 65	. . . 4 |- ( n e. om -> n ~<_ om )
10	9	ad2antrl 482	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n ~<_ om )
11		endomtr 6692	. . 3 |- ( ( A ~~ n /\ n ~<_ om ) -> A ~<_ om )
12	3, 10, 11	syl2anc 409	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~<_ om )
13	2, 12	rexlimddv 2557	1 |- ( A e. Fin -> A ~<_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   Ord word 4292   omcom 4512   ~~ cen 6640   ~<_ cdom 6641   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645

This theorem is referenced by: (None)