Theorem fict 7054

Description: A finite set is dominated by om. Also see finct 7314. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fict	|- ( A e. Fin -> A ~<_ om )

Proof of Theorem fict

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6933	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3		simprr 533	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
4		omex 4691	. . . . 5 |- om e. _V
5		ordom 4705	. . . . . 6 |- Ord om
6		ordelss 4476	. . . . . 6 |- ( ( Ord om /\ n e. om ) -> n C_ om )
7	5, 6	mpan 424	. . . . 5 |- ( n e. om -> n C_ om )
8		ssdomg 6951	. . . . 5 |- ( om e. _V -> ( n C_ om -> n ~<_ om ) )
9	4, 7, 8	mpsyl 65	. . . 4 |- ( n e. om -> n ~<_ om )
10	9	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n ~<_ om )
11		endomtr 6963	. . 3 |- ( ( A ~~ n /\ n ~<_ om ) -> A ~<_ om )
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~<_ om )
13	2, 12	rexlimddv 2655	1 |- ( A e. Fin -> A ~<_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   Ord word 4459   omcom 4688   ~~ cen 6906   ~<_ cdom 6907   Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  pw1ninf  16590