ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fict Unicode version

Theorem fict 6582
Description: A finite set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fict  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  ~<_  om )

Proof of Theorem fict
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6476 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 118 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
3 simprr 499 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  A  ~~  n )
4 omex 4408 . . . . 5  |-  om  e.  _V
5 ordom 4421 . . . . . 6  |-  Ord  om
6 ordelss 4206 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  om  /\  n  e.  om )  ->  n  C_ 
om )
75, 6mpan 415 . . . . 5  |-  ( n  e.  om  ->  n  C_ 
om )
8 ssdomg 6493 . . . . 5  |-  ( om  e.  _V  ->  (
n  C_  om  ->  n  ~<_  om ) )
94, 7, 8mpsyl 64 . . . 4  |-  ( n  e.  om  ->  n  ~<_  om )
109ad2antrl 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  n  ~<_  om )
11 endomtr 6505 . . 3  |-  ( ( A  ~~  n  /\  n  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
123, 10, 11syl2anc 403 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  ->  A  ~<_  om )
132, 12rexlimddv 2493 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1438   E.wrex 2360   _Vcvv 2619    C_ wss 2999   class class class wbr 3845   Ord word 4189   omcom 4405    ~~ cen 6453    ~<_ cdom 6454   Fincfn 6455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator