Theorem fict 7136

Description: A finite set is dominated by om. Also see finct 7420. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fict	|- ( A e. Fin -> A ~<_ om )

Proof of Theorem fict

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7013	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3		simprr 533	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
4		omex 4720	. . . . 5 |- om e. _V
5		ordom 4734	. . . . . 6 |- Ord om
6		ordelss 4505	. . . . . 6 |- ( ( Ord om /\ n e. om ) -> n C_ om )
7	5, 6	mpan 424	. . . . 5 |- ( n e. om -> n C_ om )
8		ssdomg 7031	. . . . 5 |- ( om e. _V -> ( n C_ om -> n ~<_ om ) )
9	4, 7, 8	mpsyl 65	. . . 4 |- ( n e. om -> n ~<_ om )
10	9	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n ~<_ om )
11		endomtr 7043	. . 3 |- ( ( A ~~ n /\ n ~<_ om ) -> A ~<_ om )
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~<_ om )
13	2, 12	rexlimddv 2667	1 |- ( A e. Fin -> A ~<_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   Ord word 4488   omcom 4717   ~~ cen 6986   ~<_ cdom 6987   Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  pw1ninf  16891