ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fict GIF version

Theorem fict 6538
Description: A finite set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fict (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem fict
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6432 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 118 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
3 simprr 499 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝑛)
4 omex 4383 . . . . 5 ω ∈ V
5 ordom 4396 . . . . . 6 Ord ω
6 ordelss 4182 . . . . . 6 ((Ord ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
75, 6mpan 415 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω)
8 ssdomg 6449 . . . . 5 (ω ∈ V → (𝑛 ⊆ ω → 𝑛 ≼ ω))
94, 7, 8mpsyl 64 . . . 4 (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ≼ ω)
109ad2antrl 474 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝑛 ≼ ω)
11 endomtr 6461 . . 3 ((𝐴𝑛𝑛 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
123, 10, 11syl2anc 403 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴 ≼ ω)
132, 12rexlimddv 2489 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1436  wrex 2356  Vcvv 2615  wss 2988   class class class wbr 3822  Ord word 4165  ωcom 4380  cen 6409  cdom 6410  Fincfn 6411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-br 3823  df-opab 3877  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-en 6412  df-dom 6413  df-fin 6414
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator