Theorem fict 6947

Description: A finite set is dominated by ω. Also see finct 7200. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fict	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem fict

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6838	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3		simprr 531	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
4		omex 4639	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5		ordom 4653	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
6		ordelss 4424	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
7	5, 6	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω)
8		ssdomg 6855	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → (𝑛 ⊆ ω → 𝑛 ≼ ω))
9	4, 7, 8	mpsyl 65	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ≼ ω)
10	9	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ≼ ω)
11		endomtr 6867	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≼ ω)
13	2, 12	rexlimddv 2627	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2175  ∃wrex 2484  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165   class class class wbr 4043  Ord word 4407  ωcom 4636   ≈ cen 6815   ≼ cdom 6816  Fincfn 6817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-iinf 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820

This theorem is referenced by: (None)