ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fict GIF version

Theorem fict 6924
Description: A finite set is dominated by ω. Also see finct 7175. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fict (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem fict
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6815 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 120 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
3 simprr 531 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝑛)
4 omex 4625 . . . . 5 ω ∈ V
5 ordom 4639 . . . . . 6 Ord ω
6 ordelss 4410 . . . . . 6 ((Ord ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
75, 6mpan 424 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω)
8 ssdomg 6832 . . . . 5 (ω ∈ V → (𝑛 ⊆ ω → 𝑛 ≼ ω))
94, 7, 8mpsyl 65 . . . 4 (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ≼ ω)
109ad2antrl 490 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝑛 ≼ ω)
11 endomtr 6844 . . 3 ((𝐴𝑛𝑛 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
123, 10, 11syl2anc 411 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴 ≼ ω)
132, 12rexlimddv 2616 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2164  wrex 2473  Vcvv 2760  wss 3153   class class class wbr 4029  Ord word 4393  ωcom 4622  cen 6792  cdom 6793  Fincfn 6794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator