Theorem fict 6755

Description: A finite set is dominated by ω. Also see finct 6994. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fict	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem fict

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6648	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 119	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3		simprr 521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
4		omex 4502	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5		ordom 4515	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
6		ordelss 4296	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
7	5, 6	mpan 420	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω)
8		ssdomg 6665	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → (𝑛 ⊆ ω → 𝑛 ≼ ω))
9	4, 7, 8	mpsyl 65	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ≼ ω)
10	9	ad2antrl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ≼ ω)
11		endomtr 6677	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
12	3, 10, 11	syl2anc 408	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≼ ω)
13	2, 12	rexlimddv 2552	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2415  Vcvv 2681   ⊆ wss 3066   class class class wbr 3924  Ord word 4279  ωcom 4499   ≈ cen 6625   ≼ cdom 6626  Fincfn 6627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630

This theorem is referenced by: (None)