Theorem fict 6868

Description: A finite set is dominated by ω. Also see finct 7115. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fict	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem fict

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6761	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3		simprr 531	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
4		omex 4593	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5		ordom 4607	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
6		ordelss 4380	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
7	5, 6	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω)
8		ssdomg 6778	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → (𝑛 ⊆ ω → 𝑛 ≼ ω))
9	4, 7, 8	mpsyl 65	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ≼ ω)
10	9	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ≼ ω)
11		endomtr 6790	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≼ ω)
13	2, 12	rexlimddv 2599	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  Vcvv 2738   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004  Ord word 4363  ωcom 4590   ≈ cen 6738   ≼ cdom 6739  Fincfn 6740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743

This theorem is referenced by: (None)