Theorem fict 7123

Description: A finite set is dominated by ω. Also see finct 7407. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fict	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem fict

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7000	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3		simprr 533	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
4		omex 4715	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5		ordom 4729	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
6		ordelss 4500	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
7	5, 6	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω)
8		ssdomg 7018	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → (𝑛 ⊆ ω → 𝑛 ≼ ω))
9	4, 7, 8	mpsyl 65	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ≼ ω)
10	9	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ≼ ω)
11		endomtr 7030	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≼ ω)
13	2, 12	rexlimddv 2665	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109  Ord word 4483  ωcom 4712   ≈ cen 6973   ≼ cdom 6974  Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978

This theorem is referenced by:  pw1ninf  16765