Theorem fict 7174

Description: A finite set is dominated by ω. Also see finct 7462. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fict	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem fict

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7051	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3		simprr 537	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
4		omex 4742	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5		ordom 4756	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
6		ordelss 4526	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑛 ⊆ ω)
7	5, 6	mpan 428	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ⊆ ω)
8		ssdomg 7069	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → (𝑛 ⊆ ω → 𝑛 ≼ ω))
9	4, 7, 8	mpsyl 65	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ≼ ω)
10	9	ad2antrl 494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ≼ ω)
11		endomtr 7081	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
12	3, 10, 11	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≼ ω)
13	2, 12	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131  Ord word 4509  ωcom 4739   ≈ cen 7024   ≼ cdom 7025  Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029

This theorem is used by:  pw1ninf  17226